Некомуттационная производная

[Sicker]

Берем алгебру с некоммутирующей операцией умножения (например спиноры). Задача найти производную $x^n$. С целым $n$ все понятно, а как быть если оно дробное? Или тогда нельзя явно выписать выражение? В инете ничего нет

[B@R5uk]

Мой матанщик любил повторять такие слова: "Видишь степень — пиши экспоненту!". Вот и напишем:

$$x^y=\exp(y\ln(x))$$

Экспоненту и логарифм для произвольных объектов, над которыми определены сложение и умножение (в том числе на число), можно определить через соответствующие ряды.

Другое дело, если захочется расширить понятие степени, чтобы степень была не только числом, а в том числе и объектом. Тут, если честно, я не знаю, в каком порядке производить умножение под экспонентой.

[warlock66613]

B@R5uk в сообщении #1371906 писал(а):

Экспоненту и логарифм для произвольных объектов, над которыми определены сложение и умножение (в том числе на число), можно определить через соответствующие ряды.

Занудства ради и умных слов для замечу, что кроме сложения и умножения всё-таки нужна ещё и топология для определения суммы ряда.

[Sicker]

B@R5uk
Нее, бесконечные ряды это как-то читерно, я имел ввиду конечное выражение

warlock66613 в сообщении #1372091 писал(а):

Занудства ради и умных слов для замечу, что кроме сложения и умножения всё-таки нужна ещё и топология для определения суммы ряда.

Т.е. все-таки простого способа нет, как с целыми степенями?

[Someone]

Sicker в сообщении #1372108 писал(а):

Т.е. все-таки простого способа нет, как с целыми степенями?

Нет. Целые степени и корни в множестве действительных чисел — это чистая алгебра, а степени с произвольными действительными показателями — это уже математический анализ, поскольку требуется соответствующая теория пределов.

[Xaositect]

Sicker в сообщении #1371879 писал(а):

Берем алгебру с некоммутирующей операцией умножения (например спиноры).

Спиноры это не алгебра, спиноры это представление.

Sicker в сообщении #1371879 писал(а):

Задача найти производную $x^n$. С целым $n$ все понятно

А вот мне уже с целым ничего не понятно, начиная с того, как определять производную. Покажете?

[B@R5uk]

warlock66613 в сообщении #1372091 писал(а):

...всё-таки нужна ещё и топология для определения суммы ряда.

А можно по-подробнее? А то я не знаком с такими тонкостями. Единственное, с чем встречался — это экспонента от матрицы 2 на 2, но там всё очень хорошо сворачивается.

[mihaild]

Это так себе тонкости. Вот у нас есть какая-то структура, и мы хотим определить на ней функцию $\exp$ через ряд: $\exp(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. Кроме возведения в натуральную степень и деления на натуральное число, нам нужно уметь брать бесконечные суммы элементов этой структуры. Как бы это сделать?
Обычно бесконечная сумма определяется как предел конечных. Значит нам нужно уметь считать конечные суммы (так что нужно сложение), и, самое главное, нам нужно уметь находить предел последовательности элементов нашей структуры.
Для матриц (и вообще конечномерных алгебр над $\mathbb{R}$) можно брать просто покоординатный предел, например. Для более сложных структур сходимость можно определять сильно по-разному.

(Оффтоп)

Кстати сходимость - более общее понятие, чем топология, и не всякая сходимость задается топологией.

[Sicker]

Someone в сообщении #1372110 писал(а):

Нет. Целые степени и корни в множестве действительных чисел — это чистая алгебра, а степени с произвольными действительными показателями — это уже математический анализ, поскольку требуется соответствующая теория пределов.

Хорошо, пусть будет пока корень

Xaositect в сообщении #1372118 писал(а):

Спиноры это не алгебра, спиноры это представление.

Ну скажем обычные вращения сферы, самый понятный пример некоммутационной структуры

Xaositect в сообщении #1372118 писал(а):

А вот мне уже с целым ничего не понятно, начиная с того, как определять производную. Покажете?

Ой, конечно же, дифференциал

[Modest]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Предмет обсуждения не сформулирован достаточно чётко. Объясните, какие именно алгебры или некоммутативные структуры Вы рассматриваете (например, вращения сферы не образуют алгебру в обычном понимании этого слова).