Центральный косой удар (шаров) с трением

[reterty]

Решил я рассмотреть вопрос о косом ударе (шаров, дисков, обручей ....), сопровождающемся
возникновением трения вдоль поверхностей перпендикулярно линии удара. Кое-что сам вывел, но остались вопросы.
1) Может где-то в литературе есть подобный разбор, а то "канонически" считается что трения нет и
касательная составляющая относительной скорости при ударе сохраняется.
2) В принципе, возможны ведь два варианта: когда появляется трение скольжения
и когда проскальзывания нет. Вот динамика второго случая мне и непонятна. Возможно вначале проскальзывание есть,
но затем оно переходит в трение покоя, когда тангенциальные составляющие скоростей точек соприкосновения поверхностей
оказываются равными

[pogulyat_vyshel]

reterty в сообщении #1368895 писал(а):

и когда проскальзывания нет.

Кроме стандартных уравнений теории удара и закона сохранения энергии (последнее -- если мы хотим с абсолютно упругим ударом иметь дело), надо написать, что проекции скоростей тех точек шаров, которыми они ударились, на общую касательную плоскость шаров в момент удара, совпадают сразу после удара. Это мне так физическая интуиция подсказывает, на 100 процентов я не уверен. А общий метод тут: https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/applicationes-mathematicae/all/40/3/84185/on-weak-solutions-to-the-lagrange-8211-d-alembert-equation

[reterty]

pogulyat_vyshel в сообщении #1368934 писал(а):

reterty в сообщении #1368895 писал(а):

и когда проскальзывания нет.

Кроме стандартных уравнений теории удара и закона сохранения энергии (последнее -- если мы хотим с абсолютно упругим ударом иметь дело), надо написать, что проекции скоростей тех точек шаров, которыми они ударились, на общую касательную плоскость шаров в момент удара, совпадают сразу после удара. Это мне так физическая интуиция подсказывает, на 100 процентов я не уверен. А общий метод тут: https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/applicationes-mathematicae/all/40/3/84185/on-weak-solutions-to-the-lagrange-8211-d-alembert-equation

Спасибо. Но мне кажется, что сценарий при котором к концу взаимодействия установилось чистое качение маловероятен, поскольку время столкновения всегда очень мало. Прав ли я ?

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Если будет так, как вы говорите, то энергия не сохранится. Грубо говоря тела моментально сцепятся, а потом моментально расцепятся. Сохранится общий момент, угловой момент относительно точки соударения, а вместо сохранения энергии появится уравнение кинематической связи. Грубо говоря получится абсолютно неупругий нелобовой удар.
Это сценарий удара без проскальзывания. Ну а если считать, что трение скольженич есть, можно предположить, что она как обычно прлпорционально "реакции опоры". Можно предположить, что в направлении, нормальном к общей касательной плоскости в точке удара сам удар абсолютно упругий. Тогда нам известно изменение импульса для обоих шаров и, соответственно, изменение импульса в касательном направлении. И изменение углового импульса так-же. Потому как там все пропорционально. Там только один тонкий момент. Возможно, что и в таком случае произойдет сцепка. То есть в процессе соударения сила трения превратится в ноль. Тогда пропорциональность соблюдется только до момента сцепки.

[reterty]

fred1996 в сообщении #1369006 писал(а):

pogulyat_vyshel
Если будет так, как вы говорите, то энергия не сохранится. Грубо говоря тела моментально сцепятся, а потом моментально расцепятся. Сохранится общий момент, угловой момент относительно точки соударения, а вместо сохранения энергии появится уравнение кинематической связи. Грубо говоря получится абсолютно неупругий нелобовой удар.
Это сценарий удара без проскальзывания. Ну а если считать, что трение скольженич есть, можно предположить, что она как обычно прлпорционально "реакции опоры". Можно предположить, что в направлении, нормальном к общей касательной плоскости в точке удара сам удар абсолютно упругий. Тогда нам известно изменение импульса для обоих шаров и, соответственно, изменение импульса в касательном направлении. И изменение углового импульса так-же. Потому как там все пропорционально. Там только один тонкий момент. Возможно, что и в таком случае произойдет сцепка. То есть в процессе соударения сила трения превратится в ноль. Тогда пропорциональность соблюдется только до момента сцепки.

Не совсем так. Наличие трения (что покоя, что скольжения) приведет лишь к тому что часть кинетической энергии поступательного движения перейдет в кинетическую энергию вращательного
движения. В данном случае "сцепка" означает что оба (шара) "катятся друг по дружке". То есть если бы не возбуждалось вращение, тогда это была бы "классическая сцепка" (оба тела поступательно движутся в одном направлении с одинаковыми скоростями). А в данном случае равны суммарные касательные скорости поступательного+ вращательного движения а касательные скорости центров масс не одинаковы

[fred1996]

У Вас противоречие. Потому как появляется одно лишнее уравнение. Либо сохраняется энергия, либо сцепка. Вспомните как при лобовом абсолютно неупругом ударе. Там ведь тоже происходит сцепка. Только при нулевом угле.
Короче, распишите уравнения при условии сцепки и увидите, что энергия теряется. Кстати, тут ведь уже где-то решали такую задачу. Только для полной сцепки. А в вашем случае можно положить, что после моментальной сцепки они сразу расцепились. Вот и вся разница.

В общем случае при ударе действует такое правило: либо сохраняется энергия, либо появляется кинематическое уравнение связи. Вс
данном случае это равенство скоростей точек соприкосновения после удара.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1369006 писал(а):

Если будет так, как вы говорите, то энергия не сохранится. Г

с чего это вдруг, если закон сохранения энергии является одним из системы уравнений, из которой я ищу скорости шаров после удара?

[fred1996]

А с того, что вы уж определитесь. Что у вас сохраняется. Либо энергия, либо моментальная сцепка после удара. Которая выражается в дополнительном уравнении. Иначе у вас получится n+1 уравнение с n неизвестными.
Сцепка указывает, что удар неупругий. Это достаточно общее место при решении задач на удары. Фомам неверующим предлагаю все честно расписать.
Для простоты пусть у нас навстречу друг другу летят два одинаковых шара с одинаковой скоростью с сталкиваются под ненулевым углом по отношению направления скоростей и линией, связывающей центры в момент удара. У нас естественным образом сохраняется нулевой импульс и ненулевой момент вращения.
А так же уравнение кинематической связи. Из этих уравнений однозначным образом определяется скорость центров шаров после удара и их угловые скорости. Здесь нигде не фигурирует сохранение энергии. Зато можно вычислить потерю энергии во время удара. Кстати. Можно характеризовать этот удар как частично неупругий, если допустить абсолютную упругость перпендикулярной составляющей скорости. Тогда за неупругость будет отвечать только изменение касательной скорости.

[pogulyat_vyshel]

Так вы уравнения, которые я перечислил напишите и убедитесь, что там все в порядке. А все остальное -- это просто слова.

[fred1996]

Пусть у нас для простоты абсолютно симметричный случай двух одинаковых шаров с $I=\beta mR^2$
Центр масс находится в начале координа.
Скорость левого шара $(V_x, V_y)$. Правого соответственно $(-V_x, -V_y)$
Считаем лобовое столкновение по оси Х абсолютно упругим. То есть после столкновения скорости по этой оси поменяют знак. А по касательной у нас произойдет моментальная сцепка. Так что точка соприкосновения обоих шаров в вертикальном направлении будет моментально неподвижна.
Имеем два ураврения:
1. Сохранение момента импульса относительно начала координат:
$mV_y = mV_y'+I\omega$
2. Уравнение вертикальной составляющей сцепки:
$V_y'=\omega R$
3. Абсолютно упругий удар по горизонтали:
$V_x'=-V_x$
Этих уравнений достаточно, чтобы сосчитать потери энергии при ударе.

Конечно, можно предположить, что энергия таки не потеряется. Что у нас какой-то уникальный материал, который позволяет каким-то образом перераспределив силы, заставить увеличиться горизонтальные скорости.
Но это, на мой взгляд, уже извращение.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1372996 писал(а):

Этих уравнений достаточно, чтобы сосчитать потери энергии при ударе.

Значит вы какую-то неправильную модель придумали.

Нижним индексом $i=1,2$ будем обозначать величины относящиеся к $i$-му шару. Верхним индексом $+$ будем обозначать величины после удара. Без верхнего индекса -- до удара. $O_i$ -- центры шаров, $\boldsymbol v_i$ -- скорости центров шаров.
$C$ -- точка контакта шаров в момент удара. шары однородные массами $m_i$.

$$J_i(\boldsymbol\omega_i^+-\boldsymbol\omega_i)=[\boldsymbol{O_iC},\boldsymbol F_i],\quad m_i(\boldsymbol v_i^+-\boldsymbol v_i)=\boldsymbol F_i,\quad i=1,2,\qquad (1)$$

здесь $\boldsymbol F_1=-\boldsymbol F_2=\boldsymbol F$ -- ударный импульс.
Система уравнений (1) это 4 векторных уравнения, или 12 скалярных относительно $\boldsymbol\omega_i^+,\boldsymbol F,\boldsymbol v_i^+$ --5 неизвестных векторов или 15 скаляров. Не хватает 3 уравнений.

Добавим сюда закон сохранения энергии -- это одно уравнение; и условие непроскальзывания в момент удара. Для этого введем оператор $P:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ортогонального проектирования на плоскость, перпендикулярную прямой $O_1O_2$. Оставшиеся два скалярных уравнения следующие:

$$P(\boldsymbol v_1^++[\boldsymbol\omega_1^+,\boldsymbol{O_1C}])=P(\boldsymbol v_2^++[\boldsymbol\omega_2^+,\boldsymbol{O_2C}]).$$

Если вместо закона сохранения энергии использовать теорему Карно с коэффициентом восстановления, то мы получим весь спектр от абсолютно упругого удара до абсолютно неупругого.

[miflin]

fred1996 в сообщении #1372996 писал(а):

Конечно, можно предположить, что энергия таки не потеряется.

При лобовом ударе возникает деформация сжатия (в грубом приближении) и возможность сохранения энергии Вас не смущает.
При скользящем ударе добавляется деформация сдвига (в грубом приближении) - почему она не может быть абсолютно упругой?
Представил два резиновых шара...

[pogulyat_vyshel]

для комплекта http://dxdy.ru/post1279815.html#p1279815

[fred1996]

miflin в сообщении #1373089 писал(а):

fred1996 в сообщении #1372996 писал(а):

Конечно, можно предположить, что энергия таки не потеряется.

При лобовом ударе возникает деформация сжатия (в грубом приближении) и возможность сохранения энергии Вас не смущает.
При скользящем ударе добавляется деформация сдвига (в грубом приближении) - почему она не может быть абсолютно упругой?
Представил два резиновых шара...

Потому что у нас произошла деформация сдвига. И в момент максимального сдвига шары разлетелись. То есть мы потеряли энергию сдвига. Если бы это было не так, то обратный сдвиг вернул бы вращение в ноль и тангенциальные составляющие.
Иначе не фиг требовать сцепки.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1372996 писал(а):

Сохранение момента импульса относительно начала координат:
$mV_y = mV_y'+I\omega$

$R$ потеряли. Но дело даже не в этом.
Вот тут у вас отсебятина написана:

fred1996 в сообщении #1372996 писал(а):

3. Абсолютно упругий удар по горизонтали:
$V_x'=-V_x$

Ни каких "абсолютно упругих ударов по горизонтали" не бывает. Это вам не материальные точки сталкивать, это твердые тела, тут импульсы перераспределяются гораздо сложнее. Ваш пункт 3) следует выбросить и заменить на закон сохранения энергии