Разложить по формуле Маклорена

[coooper]

Разложить $y(x)=x \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$ до $o(x^{2n+1})$
Я не понимаю как эту функцию нужно преобразовать, чтобы свести к основным разложениям. Также не понятно, что значит разложить до $o(x^{2n+1})$.
Так или иначе вот, что у меня выходило:
$y(x)=x\sqrt{1+2x(1+(1-x))^ {-1}}=x(1+\frac{1}{2}t+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}t^2+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)\dots(\frac{1}{2}-n+1)}{n!}t^n+o(x^n))=x(1+x(1+(-1)(1-x)+\frac{(-1)(-2)(1-x)^2}{2!}+\dots(-1)^n(1-x)^n+o((1-x)^n)+(-\frac{1}{4})x(1+(-1)(1-x)\dots+(-1)^n(1-x)^n+o((1-x)^n))^2+\frac{1}{8}x(1+(-1)(1-x)+\dots+(-1)^n(1-x)^n+o((1-x)^n))^3+\dots$

[Pphantom]

coooper в сообщении #1364234 писал(а):

Я не понимаю как эту функцию нужно преобразовать, чтобы свести к основным разложениям.

А просто воспользоваться определением? Ручаться не буду, но на первый взгляд кажется, что особых сложностей с получением коэффициентов не будет.

coooper в сообщении #1364234 писал(а):

акже не понятно, что значит разложить до $o(x^{2n+1})$.

Найти коэффициенты разложения до члена с $x^{2n+1}$ включительно.

[StaticZero]

coooper, ну к основным разложениям свести легко - ввести переменную $t = 2x/(2 - x)$. Разложение по $t$ можно будет написать без особого труда. Проблемы могут возникнуть потом, при переразложении рядов по $t$ по переменной $x$. Но может быть так будет проще.

[thething]

coooper
$\sqrt{2+x}=\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{x}{2}}$. Дальше -- пользуйтесь стандартным разложением. Второй корень -- аналогично. Ну и перемножайте ряды. В общем случае, видимо, авторами задачи подразумевается получение закономерности.

[Igrickiy(senior)]

coooper в сообщении #1364234 писал(а):

Разложить $y(x)=x \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$ до $o(x^{2n+1})$

Есть несколько предложений.
Первое.
$y(x)=x \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}=2z\sqrt{\frac{1+z}{1-z}}$
где $z=\frac{x}{2}$
Второе.
$z\sqrt{\frac{1+z}{1-z}}=z(1+z)(1-z^{2})^{-\frac{1}{2}}=(z+z^{2})(1-z^{2})^{-\frac{1}{2}}$
Третье.
Разложение радикала $(1-z^{2})^{-\frac{1}{2}}$ имеет очень удобную запись:
$(1-z^{2})^{-\frac{1}{2}}=1+\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{2^{n}{n!}}z^{2n}$
Подставив третье во второе и вернувшись к исходной переменной, немедленно и без проблем получаем ответ.
(Без всякого перемножения бесконечных рядов).