Есть ли разница между равенством и эквивалентностью?

[lordd1902]

Добрый день. Возник вопрос: есть ли разница между : "=" и "~"? Могу ли я заменить вместо знака равенства поставить "~"? Объясните, пожалуйста. Если есть возможность, то приведите примеры

[eugensk]

Равные (=) объекты совпадают, обозначают одно и то же. Эквивалентные (~) объекты в определенном смысле равнозначны (нарпимер, одного и того же цвета, отображаются на один и тот же элемент, лежат в одной плоскости и пр.) - в учебнике это должно быть, поищите. Там должно быть всё расписано, в том числе про рефлексивность, т.е. про "Могу ли я заменить вместо знака равенства поставить "~""

[EUgeneUS]

eugensk в сообщении #1363469 писал(а):

Равные (=) объекты совпадают, обозначают одно и то же.

Это не так. Сравните: $f(x)=0$ и $f(x) \equiv 0$.

[Someone]

EUgeneUS в сообщении #1363476 писал(а):

Это не так. Сравните: $f(x)=0$ и $f(x) \equiv 0$.

Первое означает равенство при конкретном значении переменной $x$, а второе — если это означает "тождественно равно" — равенство при всех значениях $x$ (возможно, с некоторыми уточнениями относительно множества "всех" значений).

К различию между равенством и эквивалентностью это отношения не имеет.

[EUgeneUS]

Someone
Это был контрпример к процитированному выше утверждению. Которое, насколько понимаю, просто неверное - знак равенства не означает, что "равные объекты совпадают, обозначают одно и то же".

[Someone]

EUgeneUS в сообщении #1363481 писал(а):

Которое, насколько понимаю, просто неверное - знак равенства не означает, что "равные объекты совпадают, обозначают одно и то же"

Знак равенства означает именно это: равенство $f(x)=0$ означает, что объекты $f(x)$ и $0$ взаимозаменяемы во всех ситуациях, то есть, при обычной интерпретации — это один и тот же объект. Просто Вас подводит дурацкий обычай путать обозначения функции и её конкретного значения. Здесь $f(x)$ — это не функция, а её значение в конкретной точке $x$. Формальное определение равенства: https://dxdy.ru/post1352958.html#p1352958.

[Munin]

eugensk в сообщении #1363469 писал(а):

Равные (=) объекты совпадают, обозначают одно и то же.

В принципе да, но к этому есть несколько уточнений педагогического (не принципиального) характера. Одно уже указали.

Ещё одно: в школьной геометрии широко используется слово "равны" для фигур плоскости, конгруэнтных друг другу - то есть, это не равенство двух множеств точек плоскости, а отношение эквивалентности "совмещаются движением". В школьном учебнике Колмогорова была попытка использовать слово "конгруэнтны", но в целом она провалилась.

[EUgeneUS]

Someone
Конечно, не буду с Вами спорить "на полях математики", вот это было бы глупо, "по-дурацки". Однако, обычай различать собственно функцию и её значения дурацким не считаю, а считаю весьма полезным.

Как в прикладом смысле. Например, вот запись закона Архимеда: $F_A=\rho g V$, справа и слева стоят совершенно разные объекты (только размерность совпадает). Слева - модуль силы, действующей на тело, а справа модуль силы, которой не существует (так как вода вытесненная, нет её). И, несмотря на то, что мы написали "равно", далеко не во всех ситуациях выражения справа и слева взаимозаменяемые. (Понятно, что когда они будут не взаимозаменяемые, равенства не будет. Но это только подчеркивает, что справа и слева - не одно и то же).

И даже в бытовом смысле . По странной прихоти архитектора площадь лоджии могут оказаться равной площади санузла. Но назвать эти площади "взаимозаменяемыми" было бы странно.

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1363565 писал(а):

Однако, обычай различать собственно функцию и её значения дурацким не считаю, а считаю весьма полезным.

Вот только в "школьной" нотации (далее активно используемой в начальном матанализе) для этого различия нет удобных обозначений. Приходится описывать что-то словами, пользоваться неудобными значками типа $\equiv,$ и т. д.

EUgeneUS в сообщении #1363565 писал(а):

а справа модуль силы, которой не существует (так как вода вытесненная, нет её).

Справа произведение плотности, постоянной земного тяготения, и объёма. Не выдумывайте ерунды. "Вес вытесненной воды" - это мнемоника для запоминания.

EUgeneUS в сообщении #1363565 писал(а):

И, несмотря на то, что мы написали "равно", далеко не во всех ситуациях выражения справа и слева взаимозаменяемые. (Понятно, что когда они будут не взаимозаменяемые, равенства не будет.

И когда же они будут не взаимозаменяемы?

EUgeneUS в сообщении #1363565 писал(а):

По странной прихоти архитектора площадь лоджии могут оказаться равной площади санузла. Но назвать эти площади "взаимозаменяемыми" было бы странно.

Странно здесь путать предмет и его площадь. А площади (просто числа) - разумеется, взаимозаменяемы.

[pogulyat_vyshel]

lordd1902 в сообщении #1363463 писал(а):

Добрый день. Возник вопрос: есть ли разница между : "=" и "~"? Могу ли я заменить вместо знака равенства поставить "~"? Объясните, пожалуйста. Если есть возможность, то приведите примеры

В дополнение к сказанному. $=$ это частный случай $\sim$. Строгое определение понятия "эквивалентность" выглядит так. Отношение $\sim$, заданное на множестве $X$ называется эквивалентностью, если оно рефлексивно: $x\sim x$,
симметрично: $x\sim y\Longrightarrow y\sim x$
и транзитивно: из $x\sim y$ и $y\sim z$ следует, что $x\sim z$.
И это верно для любых $x,y,z\in X$.

Например, на множестве действительных чисел можно задать следующее отношение эквивалентности $a\sim b\Longleftrightarrow a-b\in\mathbb{Z}$.

Множество $M\subset X$ называется классом эквивалентности если любые два его элемента эквивалентны. Легко проверить, что различные классы эквивалентности не пересекаются и все множество $X$ есть объединение этих классов. Множество классов эквивалентности обозначают $X/\sim$.
И обратно, если множество $X$ представляется объединением непересекающихся не пустых подмножеств, то можно считать, что задано отношение эквивалентности (подумайте какое.)

Если на множестве $X$ в качестве отношения эквивалентности взять $=$ то все классы эквивалентности будут состоять из одного единственного элемента. А можно наоборот: равенство это такое отношение эквивалентности при котором каждый класс эквивалентности состоит ровно из одного элемента.

[Walker_XXI]

А я уж думал, никто и не напишет, что

pogulyat_vyshel в сообщении #1363591 писал(а):

$=$ это частный случай $\sim$

и т.д.
Плюс ко всему не вижу попытки автора вопроса самостоятельно разобраться. Мог бы хоть в Википедию заглянуть.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Walker_XXI в сообщении #1363597 писал(а):

Мог бы хоть в Википедию заглянуть.

С этой формулировкой в Карантин и поедем.

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.