Пустое множество как элемент

[ljubo]

Добрый вечер!

Как известно, пустое множество - подмножество любого множества. Но если взять разность двух множеств, элементами которых являются множества, или множество, элементы которого определены как "все бесконечные подмножества множества натуральных чисел", то будет ли пустое множество подмножеством таких множеств? Иными словами, я не понимаю разницу "быть элементом" и "быть подмножеством", когда речь идет о пустом множестве.

[mihaild]

В таких вопросах еще работает интуиция о множествах как о коробках, в которых может что-то лежать (другие коробки). В частности, пустое множество соответствует пустой коробке.
Мы говорим, что $A$ - подмножество $B$, если всё, что лежит в коробке $B$, лежит и в $A$. Или, другими словами, если можно выкинуть часть содержимого $A$ так, чтобы осталось ровно то, что лежит в $B$.
В частности, из любой коробки можно выкинуть что-то из лежащего в ней так, чтобы ничего не осталось: нужно выкинуть всё.
Но при этом далеко не в любой коробке обязательно лежит пустая коробка (например, в пустой коробке нет пустой коробки; или в коробке, в которой лежит коробка, в которой лежит пустая коробка, пустой коробки тоже нет - $\varnothing \notin \{\{\varnothing\}\}$.

ljubo в сообщении #1361549 писал(а):

будет ли пустое множество подмножеством таких множеств

"Быть подмножеством" - двуместный предикат. Т.е. можно сказать "множество $X$ является подмножеством множества $Y$". А вы говорите "множество является подмножеством множеств" - это можно понимать по-разному. Например так: "является ли пустое множество подмножеством каждого бесконечного множества". Если ваш вопрос именно в этом - в вашем посте есть все необходимые утверждения чтобы вывести ответ на него, попробуйте.
Если в чем-то другом - то уточните.

[ljubo]

Теперь очевидно, что

$\varnothing\subseteq\left\lbrace\left\lbrace1, 2, ...\right\rbrace, \left\lbrace2, 3, ...\right\rbrace, ...\right\rbrace$,

но при этом

$\varnothing\notin\left\lbrace\left\lbrace1, 2, ...\right\rbrace, \left\lbrace2, 3, ...\right\rbrace, ...\right\rbrace$.

То есть, получается, если есть векторное пространство $V(F)$, векторами которого являются все подмножества множества натуральных чисел, и умножение любого вектора на 0 дает $\varnothing$, то подмножество $K $\subseteq $ V$ не будет векторным подпространством $V(F)$ именно по причине того, что $\forall$k \in$ K: k $\cdot$ 0 = $\varnothing$ $\notin$ K$?

[mihaild]

ljubo в сообщении #1361562 писал(а):

подмножество K $\subseteq $ V

$\mathrm{K}$ - это что такое?

[ljubo]

mihaild в сообщении #1361566 писал(а):

ljubo в сообщении #1361562 писал(а):

подмножество K $\subseteq $ V

$\mathrm{K}$ - это что такое?

Это непустое подмножество множества всех подмножеств натуральных чисел, которое я хочу проверить на соответствие определению подпространства.

[mihaild]

Тогда ниоткуда не следует что $\varnothing \notin \mathrm K$ (кстати, запишите формулы нормально - формулу нужно обрамлять долларами целиком).

[ljubo]

mihaild в сообщении #1361573 писал(а):

Тогда ниоткуда не следует что $\varnothing \notin \mathrm K$ (кстати, запишите формулы нормально - формулу нужно обрамлять долларами целиком).

Всемогущие силы, как же можно так тупить.

Поскольку $\varnothing$ $\subseteq\mathbb{N}$, то $\varnothing\in2^\mathbb{N}$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.