Аппроксимация недифференцируемой функции

[Gargantua]

Здравствуйте.
Рассматривается следующая функция:

$$f(x)=\left[ \frac{2}{1+e^{-2x}}-1 \right]_+,$$

где $[u]_+= \begin{cases} u,\quad u\geqslant 0\\ 0,\quad u<0 \end{cases}$
То есть, $f(x) есть сигмоида при $x\geqslant 0$ и $0$ при $x<0$. Хотелось бы найти последовательность непрерывно дифференцируемых функций $\{f_k(x)\}$, сходящихся к $f(x)$ равномерно на $\mathbb{R}$. У меня есть идея только того, как приблизить функцию $f(x)$ другой сигмоидой вида

$$g(x)=\frac{2}{1+e^{(a-x)/b}}, $$

выбрав в качестве $a$ решение уравнения $f(x)=\frac{1}{2}$, получив $a=\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}$, и $b$ из решения уравнения $\frac{1}{4 b }=f'(x)\vert_{x=a}$, получив $b=e^{2a}+1$. Но нужна сходящаяся последовательность.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[grizzly]

Gargantua в сообщении #1357526 писал(а):

То есть, $f(x)$ есть сигмоида

Не удобнее ли конкретно эту сигмоиду называть гиперболическим тангенсом?

Gargantua в сообщении #1357526 писал(а):

Хотелось бы найти последовательность непрерывно дифференцируемых функций $\{f_k(x)\}$, сходящихся к $f(x)$ равномерно на $\mathbb{R}$

А в каком виде хотелось бы. Если чтоб просто показать, что такая последовательность существует, тогда можно соединять точки $(0;0)$ и $(a;f(a))$ дугами окружностей следя за производными. Примерно с такой идеей, как на этом рисунке, который когда-то приводил wrest:

А если Вам в явном виде выписать аналитически, то это немного скучно :)

На рисунке выше соединялись две ступеньки, а у Вас ступенька и наклонная, но если идея понятна, сложностей (теоретических) не возникнет. За пределами отрезка $[0;a]$ остаётся функция $f(x)$. Затем нужно устремить $a$ к нулю.

[pogulyat_vyshel]

Gargantua

На интервале $[-1,1]$ данная функция приближается сверткой с каким-нибудь $\delta-$образным семейством гладких функций -- это если нужны явные формулы, если нет то просто применяем теорему Вейерштрасса. За пределами отрезка -- ну догадайтесь сами что делать. Не хочется произносить слов "разбиение единицы"

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1357562 писал(а):

А в каком виде хотелось бы. Если чтоб просто показать, что такая последовательность существует, тогда можно соединять точки $(0;0)$ и $(a;f(a))$ дугами окружностей следя за производными. Примерно с такой идеей, как на этом рисунке, который когда-то приводил wrest:

да, смешно

-- 29.11.2018, 21:42 --

grizzly в сообщении #1357569 писал(а):

с граничными условиями на производные.

а это не требуется :)

[grizzly]

pogulyat_vyshel в сообщении #1357568 писал(а):

а это не требуется :)

Ну тогда ещё придётся возиться за пределами единичного отрезка, чтобы сгладить производные. Вся эта возня имела бы смысл, если бы требовалась бесконечная гладкость.

Если не нужны явные формулы, то, имхо, намного проще, понятнее и нагляднее (смешнее, в Вашей терминологии :) соединять две точки ломаными и уже их отрезки сглаживать касательными окружностями.

[Gargantua]

grizzly
Требуется явное представление функции $f_k(x)$. Пока что попробую сделать, как советует pogulyat_vyshel.

[Gargantua]

pogulyat_vyshel
Я правильно опнимаю, что если рассмотреть, например, функции

$$\varphi(x)= \begin{cases} C e^{\frac{1}{x^2-1}}, \quad |x|<1\\ 0,\quad |x|\geqslant 1, \end{cases} $$

$$ \Delta_k=\frac{1}{k}\varphi(\frac{x}{k}), $$

то на отрезке $[-1,1]$ мы получаем последовательность

$$f_k(x)=(f* \Delta_k)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\Delta_k(x-y)dy,$$

сходящуюся к $f(x)$?
Не могу догадаться, как на всю прямую эту функцию продолжить так, чтобы сохранялась дифференцируемость функции $f_k(x)$ - покрывать оставшиеся лучи интервалами длины 1 и использовать ту же срезающую функцию мне кажется не очень рациональным для моих целей.

[pogulyat_vyshel]

Я думаю, что если вы изготовите $\delta-$образную последовательность из функции, скажем
$1/(1+x^2)$ то этого уже будет достаточно, в том смысле, что соответствующая последовательность приближенных функций будет сходиться к вашей функции равномерно на $\mathbb{R}$

[Gargantua]

pogulyat_vyshel
Хорошо. Такой последовательностью будет, например

$$\delta_k(x)=\frac{k}{\pi (1+k^2 x^2)}.$$

Тогда аппроксимирующая последовательность функций примет вид

$$f_k(x)=(f * \delta_k)(x)=\frac{k}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1-e^{-2y}}{1+e^{-2y}}\cdot \frac{1}{1+k^2(x-y)^2} }dy $$

[pogulyat_vyshel]

Gargantua в сообщении #1358423 писал(а):

Такой последовательностью будет, например

не проверяю, верю на слово
Значит ваша аппроксимирующая последовательность $f_k(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\delta_k(y-x)dy$