Ориентация трёхмерного проективного пространства

[g______d]

george66 в сообщении #1353810 писал(а):

Даже если можно, винт от этого не изменится.

То есть Ваш набор прямых неупорядоченный?

[george66]

Впечатление, что да, все три прямые равноправны! Если я ничего не перепутал, то совсем хорошо.

[george66]

Ан нет, кажется, придумал контрпример. Возьмём три прямых, параллельных осям координат, но чтоб они не пересекались. Тогда при вращении вокруг одной из них две другие не "заплетаются".

[Munin]

Рад, что у вас всё хорошо складывается! Жаль, что так и не довелось услышать постановки задачи.

-- 14.11.2018 01:28:30 --

george66 в сообщении #1353834 писал(а):

Возьмём три прямых, параллельных осям координат, но чтоб они не пересекались.

Такого сделать нельзя.

[george66]

george66 в сообщении #1353834 писал(а):

Ан нет, кажется, придумал контрпример. Возьмём три прямых, параллельных осям координат, но чтоб они не пересекались. Тогда при вращении вокруг одной из них две другие не "заплетаются".

Но, кажется, всё равно определяют винт (представил в голове картинку). Постановка задачи на данный момент: доказать или опровергнуть, что три попарно не пересекающихся прямых в проективном пространстве задают его ориентацию. Содержательно, они закручены или правым, или левым винтом, но как это формализовать?

-- 14.11.2018, 01:41 --

Munin в сообщении #1353838 писал(а):

Такого сделать нельзя.

Почему нельзя? Возьмём прямые
$x=0\wedge z=0$ (ось $0y$)
$x=1\wedge y=0$
$y=1\wedge z=1$
Мне кажется, они закручены правым винтом, что можно понять, посмотрев на них в направлении вектора $(1,1,-1)$

[Munin]

Извините, вы параллельным называете что-то своё. Координаты какие-то используете, но не вводите. Понять вас как-то можно, но на уровне "мне навеяло". Это не разговор. (Мне это чем-то напомнило bayak. У него совсем запущенный случай, но не доводите до такого.)

-- 14.11.2018 01:46:55 --

А дифгеометрия - это нормальный язык, чтобы говорить об этом многообразии. Непонятно, зачем его отвергать.

[george66]

Три прямых, каждая из которых параллельна одной из осей координат. Но попарно не пересекающихся.

[Munin]

На сфере (половиной которой является рассматриваемое пространство) параллельных вообще нет.

(P.S. 2019: Видимо, я был неправ. Слоение Хопфа не позволяет рассуждать об $S^3$ точно так же, как об $S^2.$)

[george66]

Munin в сообщении #1353849 писал(а):

На сфере (половиной которой является рассматриваемое пространство) параллельных вообще нет.

Имеется в виду "параллельных в аффинном пространстве, которое получается из проективного выбрасыванием бесконечно удалённой плоскости".

-- 14.11.2018, 02:24 --

Идёт процесс мышления, всё излагать формально невозможно.

[george66]

Подсказали простую идею
"Первое, что приходит в голову -- взять точку, не лежащую на этих прямых, и провести через неё и прямые три плоскости. Получим три плоскости, проходящие через точку -- они задают ориентацию в касательном пространстве к этой точке. Можно, например, взять попарные пересечения этих плоскостей, получив тройку прямых, задающих базис в касательном пространстве. При непрерывной деформации выбранной точки полученный базис будет меняться непрерывно, так что ориентация не изменится. А дополнение $RP^3$ до трёх прямых линейно связно, так что любые две точки можно соединить путём. Так что ориентация, полученная таким способом, не зависит от выбора точки."

Я её (идею) додумал, получилось вот что:
Пусть даны три попарно не пересекающиеся прямые $X,Y,Z$. Берём точку $0$, не лежащую на них. Проводим три плоскости $y0z$ (через $X$), $z0x$ (через $Y$), $x0y$ (через $Z$). Прямые пересечения обозначим $0x$, $0y$, $0z$. Прямая $0x$ пересекается с $Y$ и $Z$, две точки пересечения будем считать единичной и бесконечно удалённой. Прямая $0y$ пересекается с $Z$ и $X$, прямая $0z$ пересекается с $X$ и $Y$. Получаем ориентированный базис.

[george66]

Подвожу итоги: неупорядоченная тройка прямых в общем положении (попарно не пересекающихся и поэтому попарно не лежащих в одной плоскости) определяет ориентацию трёхмерного проективного пространства способом, указанным в предыдущем комментарии. Что ориентация не зависит от порядка, в котором берутся прямые, надо проверять отдельно (я проверил). Есть также способ вычислить знак ориентации через координаты Плюккера, но это надо "моменты" вычислять.

[g______d]

george66 в сообщении #1354570 писал(а):

Подвожу итоги: неупорядоченная тройка прямых в общем положении (попарно не пересекающихся и поэтому попарно не лежащих в одной плоскости) определяет ориентацию трёхмерного проективного пространства способом, указанным в предыдущем комментарии. Что ориентация не зависит от порядка, в котором берутся прямые, надо проверять отдельно (я проверил). Есть также способ вычислить знак ориентации через координаты Плюккера, но это надо "моменты" вычислять.

А у Вас есть какое-то простое доказательство, что неверно следующее: любую тройку прямых в общем положении можно перевести в любую другую диффеоморфизмом, сохраняющим ориентацию?

[george66]

Ну вот инвариант тройки прямых - знак ориентации. Диффеоморфизм, сохраняющий ориентацию, его не меняет. Доказательство в позапрошлом комментарии простое?

[g______d]

george66 в сообщении #1354580 писал(а):

Доказательство в позапрошлом комментарии простое?

Я не понял следующего:

george66 в сообщении #1354076 писал(а):

Получим три плоскости, проходящие через точку -- они задают ориентацию в касательном пространстве к этой точке.

Разве здесь не нужна упорядоченность?

[george66]

Если поменять местами, например, прямые $X$ и $Y$, то меняются местами две координатные плоскости ($y0z$ и $x0z$) и соответственно две оси координат ($0x$ и $0y$), это меняет ориентацию на противоположную. Но также меняются местами единичная и бесконечно удалённая точка на всех трёх осях, это меняет ориентацию ещё раз, если я ничего не перепутал. Например, ось $0z$ пересекалась с прямыми $X$ и $Y$, эти точки мы брали как единичную и бесконечно удалённую. Теперь же это точки пересечения с $Y$ и $X$ (потому что $Y$ и $X$ поменялись местами).