нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

[bkat]

здравствуйте! у меня возник вопрос с данным уравнением $y''-yy'-y^2=0$
нужно его решить методом конечных разностей, но чтобы его решить этим методом его же необходимо привести к линейному?
Или же в этом уравнении можно заменять производные их конечно-разностными аппроксимациями?

[Pphantom]

bkat в сообщении #1353478 писал(а):

нужно его решить методом конечных разностей, но чтобы его решить этим методом его же необходимо привести к линейному?

Зачем именно к линейному? Почему вы так решили?

[bkat]

Pphantom в сообщении #1353488 писал(а):

bkat в сообщении #1353478 писал(а):

нужно его решить методом конечных разностей, но чтобы его решить этим методом его же необходимо привести к линейному?

Зачем именно к линейному? Почему вы так решили?

Просто все примеры, которые встречались мне по методу конечных разностей были с линейными уравнениями.

[Pphantom]

bkat в сообщении #1353492 писал(а):

Просто все примеры, которые встречались мне по методу конечных разностей были с линейными уравнениями.

В качестве примеров обычно приводятся уравнения, для которых решение можно найти аналитически (чтобы была возможность сравнить результаты, полученные разными методами).

Есть, правда, другое "но". Решать уравнение численно можно, если заданы начальные или граничные условия. Они есть?

[thething]

bkat в сообщении #1353478 писал(а):

Или же в этом уравнении можно заменять производные их конечно-разностными аппроксимациями?

Конечно можно. Это приведёт к нелинейной системе уравнений, решать которую придётся, к примеру, методом Ньютона (т.е. линеаризацией). У Вас не рассматривались похожие примеры?

Непонятно правда, почему именно конечные разности, если Рунге-Кутт отлично справится. Ну и действительно не хватает начальных или граничных условий.

[bkat]

граничные условия даны такие: $\alpha=1$ $\beta=0$

[Pphantom]

thething, он Кутта (в именительном падеже).

Собственно, если это задача Коши, то можно обойтись и без Ньютона, запись разностных аппроксимаций "в лоб" просто даст какой-нибудь явный метод Эйлера. Если же это краевая задача, то и метод Рунге-Кутты не поможет (по крайней мере без дополнительных усилий, вроде "пристрелки").

-- 12.11.2018, 13:29 --

Ну вот, пока писал, выяснилось, что задача таки краевая...

bkat в сообщении #1353503 писал(а):

граничные условия даны такие: $\alpha=1$ $\beta=0$

...только условия заданы оригинально. Что такое, собственно, $\alpha$ и $\beta$?

[bkat]

thething в сообщении #1353502 писал(а):

bkat в сообщении #1353478 писал(а):

Или же в этом уравнении можно заменять производные их конечно-разностными аппроксимациями?

Конечно можно. Это приведёт к нелинейной системе уравнений, решать которую придётся, к примеру, методом Ньютона (т.е. линеаризацией). У Вас не рассматривались похожие примеры?

нет, к сожалению.
Я почитаю об этом методе, спасибо!

[thething]

Pphantom в сообщении #1353504 писал(а):

он Кутта

Ага, точно, Кутты

-- 12.11.2018, 15:40 --

Раз задача краевая, то понятно, почему указан конечно-разностный (я его ещё знаю, как метод сеток), про него, собственно, сперва и подумал. Просто по-моему проще сводить это к задачам Коши той же пристрелкой..

bkat
Если такого ещё не делали, то попробуйте явно выписать полученную систему уравнений для малого числа узлов, например, 5 и посмотреть, как будут устроены итерации по Ньютону.

[bkat]

имелось в виду на интервале $[$\alpha$,$\beta$]$ и $\alpha$=0$, $\beta$=1$, в сообщении ошибка.

все, что дано в уравнении по граничным условиям:
$y|_x_=_L= 0$

$y'|_x_=_0= 1$

[Pphantom]

Бр.... ну ладно, с цитатой я и так понял, что она из меня, но формулы надо поправить, в таком виде это нечитаемо.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.