Парадокс Рассела

[Sergei Suvorov]

"Пусть X - множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента. Тогда X \in X \leftrightarrow X \notin X." Но ведь существование X ещё нужно доказать... Предположив, что X существует мы придём к противоречию.

P. S. Это не попытка разрешить парадокс Рассела

[Narn]

А что это? У Вас вопрос или предложение? Непонятно, что Вы хотите сказать.

[Sergei Suvorov]

Хочется узнать мнение по поводу правомерности такого рассуждения.

[Brukvalub]

В наивной теории множеств множество считается заданным, если известно правило, согласно которому для каждого объекта можно однозначно определить, принадлежит оно рассматриваемому множеству, или нет. Правило:

Sergei Suvorov в сообщении #134970 писал(а):

X - множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента

именно таково. Так что, с точки зрения наивной теории множеств, множество Х существует.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

В наивной теории множеств множество считается заданным, если известно правило, согласно которому для каждого объекта можно однозначно определить, принадлежит оно рассматриваемому множеству, или нет. Правило:

Sergei Suvorov в сообщении #134970 писал(а):

X - множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента

именно таково. Так что, с точки зрения наивной теории множеств, множество Х существует.

Да, но зато не имеет смысла множество всех множеств вообще.

[Sergei Suvorov]

А что если добавить к наивной теории множеств критерий непротиворечивости? Можно ли таким образом устранить парадокс Рассела (и возможно другие теоретико-множественные парадоксы), не принимая аксиом Цермело-Френкеля?

[Brukvalub]

Sergei Suvorov в сообщении #134981 писал(а):

А что если добавить к наивной теории множеств критерий непротиворечивости? Можно ли таким образом устранить парадокс Рассела (и возможно другие теоретико-множественные парадоксы), не принимая аксиом Цермело-Френкеля?

Вы знаете такой критерий?
Аксиоматика Цермело-Френкеля и другие системы аксиом для того и были предложены, чтобы избавиться от подобных парадоксов и, насколько я знаю, ничего лучшего пока никто не придумал.

[Sergei Suvorov]

Brukvalub писал(а):

Sergei Suvorov в сообщении #134981 писал(а):

А что если добавить к наивной теории множеств критерий непротиворечивости? Можно ли таким образом устранить парадокс Рассела (и возможно другие теоретико-множественные парадоксы), не принимая аксиом Цермело-Френкеля?

Вы знаете такой критерий?
Аксиоматика Цермело-Френкеля и другие системы аксиом для того и были предложены, чтобы избавиться от подобных парадоксов и, насколько я знаю, ничего лучшего пока никто не придумал.

Я имею ввиду критерий непротиворечивости с точки зрения классической логики. X \in X \leftrightarrow X \notin X - это противоречие.

[ewert]

Ну и где тут критерий?

("критерий" -- это необходимое и достаточное условие чего-то)

[Sergei Suvorov]

ewert писал(а):

Ну и где тут критерий?

("критерий" -- это необходимое и достаточное условие чего-то)

Я имею ввиду критерий в другом смысле. Насколько мне известно, в классической математике объект признаётся существующим, если не содержит противоречия с точки зрения формальной логики.

[AGu]

Sergei Suvorov писал(а):

Насколько мне известно, в классической математике объект признаётся существующим, если не содержит противоречия с точки зрения формальной логики.

Существование объекта с определенными свойствами -- это утверждение. Утверждение может противоречить или не противоречить аксиомам данной теории. Если утверждение не противоречит аксиомам, то это еще не означает, что оно "верно" (формально -- доказуемо). Стало быть, если существование объекта с определенными свойствами не противоречит аксиомам, то это еще не доказывает, что такой объект существует. Но если существование такого объекта принять в качестве новой аксиомы (т.е. добавить к списку аксиом), то получится новая непротиворечивая теория. Может показаться, что добавив к аксиомам все утверждения о существовании объектов, существование которых не противоречит данной теории, то мы получим непротиворечивую теорию. Но это не так: существования двух (формально не противоречивых) объектов могут противоречить друг другу. Аналогично обстоит дело с отрицанием существования объектов, формальное несуществование которых не противоречит аксиомам теории. Так что теоретическая жизнь гораздо сложнее, чем может показаться на первый взгляд.

[AD]

Поскольку наивная теория множеств не является прям такой уж строгой логической конструкцией (или я не прав?), то попытки ее чуть-чуть подправить, не приводя в нормальный аксиоматический вид, мне кажутся странными.

[Sergei Suvorov]

AD писал(а):

Поскольку наивная теория множеств не является прям такой уж строгой логической конструкцией (или я не прав?), то попытки ее чуть-чуть подправить, не приводя в нормальный аксиоматический вид, мне кажутся странными.

Я и не пытался подправить наивную теорию множеств. Просто мне непонятно, почему нельзя использовать формальную логику для доказательства несуществования чего-либо в её рамках. Где грань между парадоксом и "обычным" противоречием? Почему противоречие в парадоксе Рассела демонстрирует противоречивость именно теории множеств Кантора, а не самого объекта, построенного Расселом? Прошу прощения, если это глупый вопрос...

[Brukvalub]

Sergei Suvorov в сообщении #135111 писал(а):

Почему противоречие в парадоксе Рассела демонстрирует противоречивость именно теории множеств Кантора, а не самого объекта, построенного Расселом?

Потому, что построенный Расселом объект построен без нарушения правил наивной теории множеств. Я уже писал Вам об этом:

Brukvalub в сообщении #134979 писал(а):

В наивной теории множеств множество считается заданным, если известно правило, согласно которому для каждого объекта можно однозначно определить, принадлежит оно рассматриваемому множеству, или нет. Правило:
Sergei Suvorov в сообщении #134970 писал(а):
X - множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента
именно таково. Так что, с точки зрения наивной теории множеств, множество Х существует.

Вы, часом, не тролль?

[AD]

Парадокс Рассела показывает, что наивная теория множеств противоречива, и, следовательно, из нее можно вывести любое утверждение вообще. Следовательно, следуя вашей, Sergei Suvorov, логике, нам придется вообще запретить всё (ибо существование всего приводит к противоречию, и я не понимаю, чем множество всех множеств в этом смысле лучше пустого). В-общем, думаю, автоматическое отсеивание противоречий работать не будет.