Активная и Реактивная мощность в ТОЭ

[EUgeneUS]

Евгений Машеров в сообщении #1341819 писал(а):

С чего бы это?

С разложения меандра в ряд Фурье.
Амплитуда первой гармоники $I_{\text{a1}}=\frac{4}{\pi}I$, (где $I$ - амплитуда меандра)
И на корень из двух надо поделить, чтобы получить $I_{\text{rms1}}$

-- 27.09.2018, 08:57 --

wrest в сообщении #1341824 писал(а):

Это вообще всегда можно сделать просто повысив напряжение, тогда для той же мощности ток понизится. И именно это и делают в ЛЭП.

А зачем нести затраты на повышение напряжений в ЛЭП, если ту же самую мощность можно передать тем же напряжением и тем же током (имеются в виду среднеквадратичные значения) - только исправив форму тока?
Вот энергетические компании и не хотят нести эти затраты, лоббируя коррекцию павер-фактора в БП цифровой техники.

[wrest]

Ну вы чего-то такое странное придумали:

EUgeneUS в сообщении #1341759 писал(а):

Так как напряжение синусоидальное, то в подсчете активной мощности будет только первое слагаемое

реакттвная мощность эта та что за период прошла в обоих направлениях, если мощность шла только вперед, реактивная равна нулю по определению. И никакого дополнительного подогрева проводов. И вообще для этого постоянный ток лучше. А если бы и напряжение и ток были синфазными меандрами, вы чего бы насчитали тогда у себя, интересно?

[EUgeneUS]

wrest
Не очень понимаю Ваши возражения.
Пример был приведен для иллюстрации следующего тезиса:
для негармонических сигналов могут быть случаи, когда
а) формально $Q=0$
б) $|S| > |P|$

wrest в сообщении #1341830 писал(а):

Ну вы чего-то такое странное придумали:

Это не "странное я придумал", а факт, который следует из определения активной мощности (и условий, предложенных в примере).

-- 27.09.2018, 09:45 --

wrest в сообщении #1341830 писал(а):

А если бы и напряжение и ток были синфазными меандрами, вы чего бы насчитали тогда у себя, интересно?

Для синфазных меандров всё очевидно:
$\frac{u(t)}{i(t)} = \operatorname{const}(t) = R$
То есть нагрузка линейная и активная. $Q = 0$, $S=P$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1341834 писал(а):

Не очень понимаю Ваши возражения.
Пример
был приведен для иллюстрации следующего тезиса:
для негармонических сигналов могут быть случаи, когда
а) формально $Q=0$
б) $|S| > |P|$

Ну как же могут когда не могут. И при чем тут Фурье и первая гармоника опять таки неясно. Мгновенная мощность все время неотрицательна -> реактивная равна нулю -> полная равна активной.

EUgeneUS в сообщении #1341834 писал(а):

Для синфазных меандров всё очевидно:
$\frac{u(t)}{i(t)} = \operatorname{const}(t) = R$
То есть нагрузка линейная и активная. $Q = 0$, $S=P$

Хорошо, а теперь пусть сопротивление не константа. Берем лампу накаливания и подаем на неё однополярный меандр напряжения (или тока). В зависимости от частоты, спираль может в течение периода успевать нагреваться\остывать, так что сопротивление будет меняться и ток (или напряжение) не будет меандром. И чего? Полная мощность не будет равна активной?

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1341849 писал(а):

Ну как же могут когда не могут. И при чем тут Фурье и первая гармоника опять таки неясно.

Ну как же не могут, когда могут. Фурье тут вот причем (вроде выше писал, но лень искать, повторю).
Активная мощность по определению (скобки, как обычно - усредненее по периоду):
$P = <u(t)i(t)>$,
Представим ток и напряжение в виде рядов Фурье:
$u(t) = U_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} U_n \sin(n\omega t + \varphi_{\text{Un}})$
$i(t) = I_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} I_n \sin(n\omega t + \varphi_{\text{In}})$

$U_0$, $I_0$ - постоянные составляющие ($n=0$).
$U_n$ - амплитуды гармоник напряжения, $\varphi_{\text{Un}}$ - сдвиг фазы n-й гармоники напряжения.
Для тока аналогично.
Теперь всё это перемножим и возьмем среднее, учтем, что среднее произведения разных гармоник тока и напряжения ("перекрестные члены") дадут ноль.

$P = U_0I_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{U_nI_n}{2} \cos \Delta\varphi_n$, где $\Delta\varphi_n$ - разница фаз между n-й гармоникой тока и напряжения. Или, переходя к действующим значениям тока и напряжения для гармоник:

$P = U_0I_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \tilde{U_n}\tilde{I_n} \cos \Delta\varphi_n = \sum\limits_{n=0}^{\infty}P_n$, где $P_n$ - активная мощность, передаваемая на n-й гармонике.

Если напряжение синусоидальное, то остается только один член $n=1$.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1341855 писал(а):

Или, переходя к действующим значениям тока и напряжения для гармоник:

Ну то есть ловкость рук и никакого мошенничества. Значит где-то там ошибка у вас (ну или я не понимаю, что тоже весьма вероятно). А тем временем, можно просто посчитать интеграл
$P=<u(t)i(t)>=\dfrac {1}{T}\int \limits_{t_0}^{t_0+T}u(t)i(t)dt$ который оказывается равен полной мощности $S=\dfrac {1}{T}\int \limits_{t_0}^{t_0+T}|u(t)||i(t)|dt, P=S$ и без всяких Фурье и гармоник сделать простой вывод: из нагрузки за период ничего не вернулось, никакой реактивности не было, полная мощность за период равна активной, а реактивная равна нулю.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1341863 писал(а):

А тем временем, можно просто посчитать интеграл

Так посчитайте. Для синусоидального напряжения и меандра для тока.
И найдите ошибку тут:

wrest в сообщении #1341863 писал(а):

который оказывается равен полной мощности

И тут:

wrest в сообщении #1341863 писал(а):

полной мощности $S=\dfrac {1}{T}\int \limits_{t_0}^{t_0+T}|u(t)||i(t)|dt$

По определению $S$ - произведение действующих (то есть среднеквадратичных) значений напряжения и тока, то есть:

$S = \sqrt{\dfrac {1}{T}\int \limits_{t_0}^{t_0+T}u^2(t)dt } \sqrt{\dfrac {1}{T}\int \limits_{t_0}^{t_0+T}i^2(t)dt }$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1341855 писал(а):

Если напряжение синусоидальное, то остается только один член $n=1$.

Если $u(t)=sin(t)$ а ток единичный синфазный меандр, то $u(t)i(t)=|sin(t)|$ и как тут останется только первая гармоника?

-- 27.09.2018, 12:01 --

EUgeneUS
Ладно, я думаю мы ходим вокруг терминов для синусов и потому для несинусов получается бессмысленная фигня.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1341874 писал(а):

Если $u(t)=sin(t)$ а ток единичный синфазный меандр, то $u(t)i(t)=|sin(t)|$ и как тут останется только первая гармоника?

Формула $P = \sum\limits_{n=0}^{\infty}Pn$ не является ни разложением мгновенной мощности в ряд Фурье, ни следствием разложения мгновенной мощности в ряд Фурье.

wrest в сообщении #1341874 писал(а):

Ладно, я думаю мы ходим вокруг терминов для синусов и потому для несинусов получается бессмысленная фигня.

Круг замкнулся только сейчас. Ибо не фигня получается. Ниже некоторые тезисные утверждения. Если у Вас остались с ними несогласия, предлагаю обсудить в ЛС.

1. Понятия полной и активной мощности естественным образом расширяются на несуносидальные периодические сигналы. Используются те же формулы, что и для синусоидальных.
2. Физический смысл активной мощности остаётся тем же самым - средняя переданная от источника в нагрузку мощность.
3. Физический смысл полной мощности, как произведения действующего напряжения на действующий ток - остается тем же самым. Слово "полная" смысл теряет (см. ниже).
4. Можно формально ввести понятие реактивной мощности.
5. Однако, вместо равенства $S^2=P^2+Q^2$ имеем неравенство $S^2 \geqslant P^2+Q^2$. Поэтому название "полная мощность" теряет смысл. Более правильно говорить "кажущаяся мощность".
6. Более того, как показано на примере выше, может оказаться так, что $Q=0$, а $S > P$.
7. Поэтому для нелинейных нагрузок удобнее использовать отношение $\frac{P}{S}$, которое называют power factor, PF
8. Если напряжение остается синусоидальным, а ток - нет, то PF красиво выражается через произведение, где
а) один множитель выражается через коэффициент гармоник (по току)
б) другой множитель отражает "реактивную" составляющую главной компоненты.

[Евгений Машеров]

EUgeneUS в сообщении #1341828 писал(а):

С разложения меандра
в ряд Фурье.

А зачем это делать? Культурный дикарь из анекдота, накалывавший выловленное рукой из котла мясо на вилку, демонстрировал свою культурность. А для меандра какая необходимость?

[Евгений Машеров]

Повторю своё ИМХО.
Никакого физического смысла у реактивной мощности нет. Мощность это работа в единицу времени, а "реактивная мощность" работы не производит.
"Нет мощности, кроме активной мощности, и Джоуль-Ленц пророк ея". Так же нет смысла в "полной мощности".
Это, и то, и то, фиктивные величины, введённые для упрощения электротехнических расчётов. Есть простая и развитая техника расчётов для постоянного тока, которую легко обобщить на случай переменного тока. Но это обобщение строгое, если нагрузка только линейная активная. Можно небольшим усложнением сохранить использование этой техники и для индуктивных и ёмкостных нагрузок, постулировав, что ток синусоидальный известной частоты. Усложнение состоит в том, что реактивные нагрузки сдвигают фазу, и приходится использовать комплексную арифметику. При этом возникает неприятное для практической работы усложнение - измерив отдельно ток и напряжение и перемножив их, не получим мощность, как это было для чисто активной нагрузки. Поэтому вводят фиктивную "реактивную мощность", а указанное произведение, физически бессмысленное, окрещивают "полной мощностью".
Если у нас несинусоидальный ток (а равно сумма синусоидальных колебаний разных частот), такая техника расчётов неприменима, как и в случае существенно нелинейных нагрузок (ну хоть диода). И пользоваться понятием "реактивной мощности" незачем.
Впрочем, остаётся "юридическое применение". Когда есть нормативы, и их надо проверять, допуская к эксплуатации или запрещая. И тогда могут нормировать "косинус фи" или вообще вводить "произведение коэффициента гармоник на косинус фи", упрощая уже не расчёты электротехника, а жизнь ведающего допусками чиновника, введя "интегральный показатель", отражающий лишь тот факт, что есть два нормируемых показателя, но если оба хоть и "в пределах нормы", но близки к границе, это тоже плохо.

[EUgeneUS]

Евгений Машеров в сообщении #1342025 писал(а):

А зачем это делать? Культурный дикарь из анекдота, накалывавший выловленное рукой из котла мясо на вилку, демонстрировал свою культурность. А для меандра какая необходимость?

Благородный дон может наколоть на вилку в котле и посчитать $<|\sin t|>$, и получить тоже самое.

Евгений Машеров в сообщении #1342028 писал(а):

Никакого физического смысла у реактивной мощности нет. Мощность это работа в единицу времени, а "реактивная мощность" работы не производит.
"Нет мощности, кроме активной мощности, и Джоуль-Ленц пророк ея".

с этим согласен.

Евгений Машеров в сообщении #1342028 писал(а):

Так же нет смысла в "полной мощности".

А с этим - нет.
Так как для любых периодических сигналов выполняется $S \geqslant P$, то физический смысл "полной", кажущейся мощности - максимальная мощность, которая может быть передана при данных действующих значениях тока и напряжения. А значит это максимальная мощность, которая может быть передана через существующие электросети, устройство которых и ограничивает действующие значения тока и напряжения.

В свете этого, "борьба за power factor" не выглядит "упрощением жизни чиновника", а является упрощением жизни (в виде снижения затрат на электросети) электрических компаний.

[Munin]

EUgeneUS
Выглядит довольно внятно. Вот если за пп. 7, 8 появятся ссылки, будет совсем хорошо.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1342030 писал(а):

А значит это максимальная мощность, которая может быть передана через существующие электросети, устройство которых и ограничивает действующие значения тока и напряжения.

Вот тут кажись и корень вопроса. Почему ограничен именно действующий ток? Почему например не максимальный? Тут вероятно ответ может быть такой, что для 50 герц металлические провода довольно инертны по нагреву и плавятся именно от действующего тока поскольку $P(t)=I^2(t)R$
Среднеквадратичное равно среднему только в одном случае -- постоянного тока, и потому потери минимальны при нём, все остальное, в том числе синусы -- потери на обогрев проводов. Может, из переменных напряжений со средним нулем синус наилучший? Нет, у синуса корень из двух, очевидно что меандр лучше. Значит, у меандра есть другие недостатки? Да, его трудно генерировать, большие перепады (при переходе через ноль) наталкиваются на емкости и индуктивности проводов, так что выходит синус лучше всего а все что не синус хуже.
В общем, выглядит так, как будто мы ломимся в открытую дверь (или только я ).

[Munin]

wrest в сообщении #1342035 писал(а):

Почему ограничен именно действующий ток? Почему например не максимальный? Тут вероятно ответ может быть такой, что для 50 герц металлические провода довольно инертны по нагреву и плавятся именно от действующего тока поскольку $P(t)=I^2(t)R$

Это аргумент с одной стороны. А с другой - надо смотреть на распространённые конструкции предохранителей, стоящих в электросетях. Там тоже может измеряться и срабатывать именно действующий ток. А может - и что-то другое.

То есть, нехорошо было бы вогнать электросеть в режим, когда предохранители не срабатывают, а провода горят.