Найти распределение СВ

[_Ivana]

Есть $N$ точек, равномерно распределенных на отрезке $[0, 1]$. Отрезок делится пополам. Каковы вероятности нахождения в левой половине отрезка $0, 1, .... N$ точек? Хочется получить аналитический вид кривой при стремлении $N$ к бесконечности. Надеюсь, все ограничится элементарными функциями.

Свои мысли пока только очевидные - функция осе-симметрична относительно вертикальной оси $N/2$, в этой точке имеет максимум, за границами отрезка $[0, N]$ равна нулю. Вроде должна быть везде бесконечно дифференцируема, за исключением, возможно, границ упомянутого отрезка.

ЗЫ можно конечно в Матлабе просимулировать и подобрать аналитический вид по графику. Но этот вариант оставлю на крайний случай.

ЗЗЫ также устроит ответ на другой вопрос - какова функция распределения величины, характеризующий координату деления отрезка на $2$ части, содержащие одинаковое число точек?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы и отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Geen]

_Ivana в сообщении #1337978 писал(а):

Каковы вероятности

А откуда, вдруг, возникли вероятности?

[_Ivana]

Из условия, у нас точки насыпаны на отрезок с равномерным распределением вероятности своей координаты на отрезке

[Geen]

_Ivana в сообщении #1337978 писал(а):

Есть $N$ точек, равномерно распределенных на отрезке

Где тут про вероятности?

Точки независимы?

[_Ivana]

Да, точки независимы. Мне тут подсказывают про биномиальное, стремящееся в пределе к Гауссу.....

[Geen]

_Ivana в сообщении #1338010 писал(а):

Мне тут подсказывают про биномиальное

А что же Вас смущает?

А вот Ваше "ЗЗЫ" не понял совсем...

[_Ivana]

Geen в сообщении #1338011 писал(а):

А что же Вас смущает?

Да сейчас и правда я начинаю смутно припоминать свои эксперименты в этой области, просто давно уже это было, забыл, а тут для реализации одного алгоритма потребовалось :)

ЗЗЫ - это чуть другая версия алгоритма, требует расчета по другой формуле. Но там я может не совсем додумал постановку и формализацию, и вышло криво сформулировать...

[arseniiv]

Пояснения могут быть такие. Перепишем условие так: для каждой точки независимо подкинули честную монетку, каковы вероятности $0..N$ орлов? Тогда точно ясно, что распределение биномиальное, наше милое и дорогое. При увеличении $N$ распределение ближе и ближе нормальному из-за того, что это сумма кучи независимых одинаково распределённых бернуллиевских, и далее обычная ЦПТ. Плюс всё (бернуллиевость и ЦПТ) остаётся в силе и при делении отрезка на неравные части, а при делении отрезка на больше частей получатся мультиномиальные распределения.

-- Вт сен 11, 2018 03:12:55 --

_Ivana в сообщении #1338012 писал(а):

ЗЗЫ - это чуть другая версия алгоритма, требует расчета по другой формуле. Но там я может не совсем додумал постановку и формализацию, и вышло криво сформулировать...

Не очень ясно, где проводить деление, если $N$ чётное — например, по середине отрезочка между $\frac N2$-й и $(\frac N2 + 1)$-й точками?

[Geen]

_Ivana в сообщении #1338012 писал(а):

это чуть другая версия алгоритма, требует расчета по другой формуле.

Если я всё же правильно понял, то Вы хотите получить распределение медианы $N$ точек - это не "чуть другая версия", однако...

[_Ivana]

arseniiv в сообщении #1338013 писал(а):

Не очень ясно, где проводить деление, если $N$ чётное

где-нибудь, все равно в пределе оно должно слиться в одну точку, если я правильно понимаю

Geen в сообщении #1338014 писал(а):

распределение медианы $N$ точек

да, если опять же я правильно понял. Но для решения основной задачи мне хватит ответа на любой из вопросов стартового поста :)

[arseniiv]

Ага, если медиана и в пределе, то вот на что наткнулся: https://en.wikipedia.org/wiki/Median#Sampling_distribution. Там как раз Лаплас, говорят, вывел.

[_Ivana]

Спасибо. Пока попробую Гаусса как предел биномиального, он как-то роднее и ближе... Но если что-то не пойдет, посмотрю на Лапласса тогда

[arseniiv]

Там тоже Гаусс.