Порядок роста функции Мертенса

[Otta]

А модули?

[vicvolf]

Otta в сообщении #1332039 писал(а):

А модули?

Для модуля доказывается для одного нетривиального нуля. Сначала для первого и получается О-большое для первого нуля. Затем аналогично доказывается по модулю для второго нуля и получаем O-большое для второго нуля. Для двух нулей уже оценка по модулю не делается, а просто суммируются O-большие для двух нулей и.т.д. На $n+1$ шаге оценивается по модулю выражение для $n+1$ нуля и суммируется к O-большому для $n$ нулей.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1332041 писал(а):

Для двух нулей уже оценка по модулю не делается, а просто суммируются O-большие для двух нулей и.т.д.

Вот именно. И что Вы будете с этим делать?
С тем, что она как-то не делается - если делать так, как выше, а надо бы делать. Именно по модулю.

[vicvolf]

Можно и с модулями.

$|x^{p_1}/p_1(p_1+1)\zeta'(p_1)+x^{p_2}/p_2(p_2+1)\zeta'(p_2)|<|C_1x^{p_1}/p_1\zeta'(p_1}$$+C_2x^{p_2}/p_2\zeta'(p_2}|<|\max(C_1,C_2)||x^{p_1}/p_1\zeta'(p_1}+x^{p_2}/p_2\zeta'(p_2}|$, где

$C_k=|1/p_k|$.

Так как $|p_1|<|p_2|$, то $|1/p_1|>|1/p_2|$ , поэтому $\max(C_1,C_2)=|1/p_1|$.

[grizzly]

vicvolf
А я правильно понимаю, что Вы пытаетесь доказать, что функция среднего (через интеграл или аналогично для последовательности) от другой функции растёт на бесконечности не быстрее оригинальной функции? Разве это не выполняется для любой последовательности (интегрируемой функции) вообще? И разве доказательство этого не есть что-то совершенно тривиальное, что изучается на первом курсе?

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1332225 писал(а):

vicvolf
А я правильно понимаю, что Вы пытаетесь доказать, что функция среднего (через интеграл или аналогично для последовательности) от другой функции растёт на бесконечности не быстрее оригинальной функции? Разве это не выполняется для любой последовательности (интегрируемой функции) вообще? И разве доказательство этого не есть что-то совершенно тривиальное, что изучается на первом курсе?

Нет я хочу доказать, что порядок роста функции Мертенса совпадает с порядком роста ее среднего значения, т.е. например, если гипотеза Римана справедлива, то $M(x)=O(n^{1/2+\epsilon}),M_0(x)=O(n^{1/2+\epsilon})$.
Согласитесь, так не всегда бывает. Например, для простого случайного блуждания среднее значение равно $0$, а порядок роста самой функции подчиняется закону двойного логарифма.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1332237 писал(а):

Нет я хочу доказать, что порядок роста функции Мертенса совпадает с порядком роста ее среднего значения, т.е. например, если гипотеза Римана справедлива, то $M(x)=O(n^{1/2+\epsilon}),M_0(x)=O(n^{1/2+\epsilon})$.

Извините, а причём здесь порядки роста? Вы что, не отличаете понятия $O-$больше и "порядок роста"?! Простите, но Вы не владеете материалом матанализа на уровне первого курса университета. Чего Вы добиваетесь, доказывая самые первые упражнения для начинающих ссылками на серьёзные математические работы?

Ну да ладно. Давайте обсудим Ваш результат. Неужели Вы не понимаете, что $M_0(x)=O(x^\varepsilon ) $ на бесконечности для любого $\varepsilon >0?$ Ведь функция Мертенса колеблется около нуля каким-то хаотическим образом и даже если вдруг она и принимает отрицательных значений больше, чем положительных (или наоборот), то не настолько же, чтобы средние оторвались от нуля в ту или другую сторону. Ну да, очевидно, что не понимаете, раз утверждаете, что эта функция одного порядка роста с функцией Мертенса. На этом я считаю обсуждение Вашего результата законченным. Ошибку в Вашем доказательстве я прошу Вас найти самостоятельно.

[Otta]

grizzly в сообщении #1332297 писал(а):

$M_0(x)=O(x^\varepsilon ) $

На самом деле, это даже чересчур, она бесконечно малая точно.

[grizzly]

Otta в сообщении #1332302 писал(а):

она бесконечно малая точно.

Тьфу, да конечно -- раз функция Мертенса является медленнорастущей функцией. Вот так начитаешься какой-то ерунды на форуме и потом начинаешь в тех же терминах думать

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1332297 писал(а):

Ну да ладно. Давайте обсудим Ваш результат.

Вот давайте меньше эммоций и больше дела.

Цитата:

Неужели Вы не понимаете, что $M_0(x)=O(x^\varepsilon ) $ на бесконечности для любого $\varepsilon >0?$

Вы можете это доказать?

Цитата:

Ведь функция Мертенса колеблется около нуля каким-то хаотическим образом и даже если вдруг она и принимает отрицательных значений больше, чем положительных (или наоборот), то не настолько же, чтобы средние оторвались от нуля в ту или другую сторону.

Это не доказательство.

Цитата:

Ну да, очевидно, что не понимаете, раз утверждаете, что эта функция одного порядка роста с функцией Мертенса.

Это Вы не понимаете. Когда я спрашивал литературу по среднему значению функции Метенса. Вы ничего не привели, а следовательно ничего не читали. А терерь беретесь другим указывать. Посмотрите на функцию Лиувилля, которая также зависит от количества чисел с четным и нечетным числом простых делителей, хотя бы в той статье ссылку, на которую я там давал. Среднее значение функции Лиувилля резко смещается вниз быстрее чем $O(n^{1/2})$. Это связано с тем, что плотность простых чисел убывает с ростом $n$, поэтому в начале натурального ряда больше чисел имеют один простой делитель и соответственно нечетное число простых делителей. Поэтому функции и в начале натурального ряда чаще принимают отрицательные значения и сумматорные функции Мертенса и Лиувилля смещаются в область отрицательных значений. Функция Мертенса смещается медленнее, так как функция Мебиуса принимает нулевые значения там, где функция Лиувилля принимает отрицательные (значение , когда натуральное число имеет нечетное число простых делителей степени выше первой).

[Otta]

vicvolf в сообщении #1332325 писал(а):

Вы можете это доказать?

Это тривиально: ее ограниченность единицей очевидна. Может быть, попробуете сами? это легко.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1332304 писал(а):

Тьфу, да конечно -- раз функция Мертенса является медленнорастущей функцией. Вот так начитаешься какой-то ерунды на форуме и потом начинаешь в тех же терминах думать

Действительно ерунду говорите! Вы же давали эквивалентные формулировки гипотезы Римана. Что уже все забыли?
Для всех арифметических функций: $\pi(x), L(x),M(x)$ и функций Чебышева порядок роста $O(x^{1/2}h(x))$, где $h(x)$ - медленно растущая функция. Так что про $x^{1/2)$ не забывайте. Это существеннее медленно растущей функции.

[Otta]

vicvolf
Извините, это было о чем?

[vicvolf]

Otta в сообщении #1332329 писал(а):

vicvolf в сообщении #1332325 писал(а):

Вы можете это доказать?

Это тривиально: ее ограниченность единицей очевидна. Может быть, попробуете сами? это легко.

Это Вы наверно перепутали с функцией Мебиуса. Она действительно ограничена 1. Но функция Мертенса это сумма функций Мебиуса, которая не ограничена. Давайте на таком уровне обсуждение прекратим.

[Otta]

Меня сейчас не волнует асимптотика функции Мертенса (как и Мебиуса). Вы озаботились асимптотикой среднего. Так вот, что среднее есть как минимум $O(1)$ очевидно, поскольку оно ограничено. Это был повторный ответ на Ваш вопрос

vicvolf в сообщении #1332325 писал(а):

Вы можете это доказать?

Да, все могут. Малоинформативно.

-- 14.08.2018, 00:35 --

vicvolf в сообщении #1332333 писал(а):

Давайте на таком уровне обсуждение прекратим.

Как скажете. Ваше желание в данном случае - закон.