Топология Канторова множества

[ikozyrev]

Встретил в книге Александрова в "Введение в общую топологию и теорию множеств" следующую фразу:
"...множества вида $\Pi\cap\Delta_{i_{1}i_{2}...i_{n}}$ очевидно образуют базу множества $\Pi$, рассматриваемого как подпространство числовой прямой".
$\Pi$ обозначает у него Канторово множество,$\Delta_{i_{1}i_{2}...i_{n}}$ - отрезки ранга n, получаемые разбиением исходного отрезка $[0,1]$ на каждом шаге на три части. $i_k$ при этом принимает значения 0 или 1. Например $\Delta_0}={[0,\frac{1}{3}]}$ - отрезок ранга 1, $\Delta_{01}}={[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$ - отрезок ранга 2 итд.

Для Александрова это очевидно, но мне пожалуйста помогите понять, почему эти множества образуют базу?
Здесь речь ведь идет об индуцированной топологии, так? Значит открытыми множествами в Канторовом множестве (в индуцированной топологии) будут являться всемозможные пересечения c Канторовым открытых в $\mathbb{R}$ множеств, то есть базой в Канторовом множестве будут в этом случае все пересечения открытых инетрвалов с Канторовым множеством.

[DeBill]

ikozyrev в сообщении #1330603 писал(а):

базой в Канторовом множестве будут в этом случае все пересечения открытых инетрвалов с Канторовым множеством.

Да. А также - интервалов с рациональными концами...
А также - интервалов с "троично-рациональными " концами...
А также -.....

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1330615 писал(а):

Да. А также - интервалов с рациональными концами...

Вот этот момент непонятен. Возьмем открытый интервал с иррациональными концами, так чтобы концы при этом были точками Канторова множества. Пересечем его с Канторовым множеством. Получившееся множество в индуцированной топологии - открыто. Однако как его при этом представить в виде объединения пересечений Канторова с интервалами с рациональными концами? Всю ночь думал но так и не придумал...

[Mikhail_K]

ikozyrev в сообщении #1330683 писал(а):

Однако как его при этом представить в виде объединения пересечений Канторова с интервалами с рациональными концами?

Вот более простая задача, пока без канторова множества: как любой интервал с иррациональными концами представить в виде объединения интервалов с рациональными концами? Подумайте, это довольно просто.

[Someone]

После того, как проделаете упражнение, которое Вам предложил Mikhail_K, сделайте также следующее упражнение.

У П. С. Александрова база топологического пространства $X$ определяется как такое семейство $\mathscr B$ открытых подмножеств пространства $X$, что каждое открытое $U\subseteq X$ является объединением элементов некоторого подсемейства $\mathscr A\subseteq\mathscr B$ (для пустого множества берётся $\mathscr A=\varnothing$).
Иногда (на самом деле, довольно часто) базу определяют как такое семейство $\mathscr B$ открытых подмножеств пространства $X$, что для каждого открытого $U\subseteq X$ и каждой точки $x\in U$ найдётся такое $O\in\mathscr B$, что $x\in O\subseteq U$.
Покажите, что оба определения базы эквивалентны.
И докажите утверждение

ikozyrev в сообщении #1330603 писал(а):

"...множества вида $\Pi\cap\Delta_{i_{1}i_{2}...i_{n}}$ очевидно образуют базу множества $\Pi$, рассматриваемого как подпространство числовой прямой"

с помощью второго определения базы.

[ikozyrev]

Цитата:

Вот более простая задача, пока без канторова множества: как любой интервал с иррациональными концами представить в виде объединения интервалов с рациональными концами? Подумайте, это довольно просто.

Окружаем каждую точку нашего исходного интервала, интервалом с рациональными концами внутри исходного (такие всегда найдутся по всюду плотности множества рациональных чисел) и тогда объединение этих интервалов и будет нашим исходным.

-- 05.08.2018, 12:26 --

Someone в сообщении #1330695 писал(а):

После того, как проделаете упражнение, которое Вам предложил Mikhail_K, сделайте также следующее упражнение.

У П. С. Александрова база топологического пространства $X$ определяется как такое семейство $\mathscr B$ открытых подмножеств пространства $X$, что каждое открытое $U\subseteq X$ является объединением элементов некоторого подсемейства $\mathscr A\subseteq\mathscr B$ (для пустого множества берётся $\mathscr A=\varnothing$).
Иногда (на самом деле, довольно часто) базу определяют как такое семейство $\mathscr B$ открытых подмножеств пространства $X$, что для каждого открытого $U\subseteq X$ и каждой точки $x\in U$ найдётся такое $O\in\mathscr B$, что $x\in O\subseteq U$.
Покажите, что оба определения базы эквивалентны.

В одну сторону - если каждая точка нашего открытого $U$ содержится в каком-нибудь $O\subseteq U$ то объединение этих $O\in\mathscr B$ будет совпадать с $U$

В другую сторону - если наше $U$ является объединением неких $O\in\mathscr B$, то каждая точка $x\in U$ лежит в каком-нибудь из них.

[Someone]

Ну вот теперь легко доказать то утверждение, которое вызвало у Вас затруднения. С учётом того, что длины всех этих "Дельт" от ранга к рангу уменьшаются.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1330702 писал(а):

Ну вот теперь легко доказать то утверждение, которое вызвало у Вас затруднения. С учётом того, что длины всех этих "Дельт" от ранга к рангу уменьшаются.

Ну да, для любой точки Канторова множества внутри открытого интервала можно найти такую содержащую ее дельту что она будет целиком лежать внутри этого открытого интервала.