Можно ли разделить волновую функцию?

[Georgii]

Меня заинтересовал вопрос - можно ли разделить в пространстве волновую функцию элементарной частицы на две части. Имеется ввиду, что после разделения волновой функции, между её частями будет лежать пространство, где волновая функция будет равняться нулю.

Первое, что приходит на ум это эксперимент по взаимодействию волновой функции с потенциальным барьером. Мы получаем следующую картину
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1 ... Tunnel.gif
На сколько я понимаю, у двух образовавшихся частей волновой функции (после туннелирования) будут экспоненциально малые хвосты, и они образуют своеобразную "перемычку" между этими двумя "основными" частями волновой функции. То есть, разделения не произойдёт. И квантовая механика предсказывает, что как бы далеко от потенциального барьера не переместились две "основные" части, вероятность обнаружить частицу (которая соответствует данной волновой функции) вблизи барьера будет отлична от нуля.
С другой стороны, точно проверить данное предсказание квантовой механики на практике не возможно. То есть, нельзя экспериментально доказать, что эти хвосты волновой функции будут бесконечными. Так как, для этого нужно бесконечное время, как минимум.
Правильно я понимаю данную физическую картину?

[realeugene]

Georgii в сообщении #1329747 писал(а):

вероятность обнаружить частицу (которая соответствует данной волновой функции) вблизи барьера будет отлична от нуля.

В физике и технике достаточно малую вероятность события принимают равной нулю. Что такое "достаточно малая вероятность" зависит от решаемой задачи и соглашений.

[Georgii]

realeugene в сообщении #1329750 писал(а):

В физике и технике достаточно малую вероятность события принимают равной нулю. Что такое "достаточно малая вероятность" зависит от решаемой задачи и соглашений.

Для меня важно именно точное равенство нулю волновой функции.

[realeugene]

Georgii в сообщении #1329751 писал(а):

Для меня важно именно точное равенство нулю волновой функции.

Тогда, как мне кажется, вам стоит разобраться с вопросом, почему именно это для вас важно? Строго говоря, в физике не бывает абсолютно точных равенств. Любая модель с точными равенствами сама по себе приближенная.

[madschumacher]

realeugene в сообщении #1329757 писал(а):

Для меня важно именно точное равенство нулю волновой функции.

В 1D случае это называется узлами, в многомерном -- узловой поверхностью. Для создания новых узлов (у стационарных состояний) надо всего-лишь перейти в состояние, выше по энергии, чем предыдущее.
А иначе только довольствоваться примерным равенством, и стремлением функции к нулю. Создание целых областей, где волновая функция равна нулю -- это строить бесконечно высокие барьеры, где тупо не может быть частиц (что в реальных реализациях сложно, поэтому в физических реализациях всё равно всё упрётся в степень примерности, которая Вас устроит).

[Georgii]

realeugene в сообщении #1329757 писал(а):

Тогда, как мне кажется, вам стоит разобраться с вопросом, почему именно это для вас важно? Строго говоря, в физике не бывает абсолютно точных равенств. Любая модель с точными равенствами сама по себе приближенная.

Это нужно для моей научной работы по основам квантовой механики.

madschumacher в сообщении #1329767 писал(а):

В 1D случае это называется узлами, в многомерном -- узловой поверхностью. Для создания новых узлов (у стационарных состояний) надо всего-лишь перейти в состояние, выше по энергии, чем предыдущее.

Да, я тоже подумал об этом. Если вам не трудно, можете дать ссылку на случай узловой поверхности для 3D, или по каким ключевым словам искать, буду благодарен.

[RomanGrmv]

Квантовая механика, также как и классическая механика это всего лишь математические модели, соотносящиеся с какой-то точностью с измеряемыми величинами реального мира

Волновая функция, это абстрактный математический объект, являющаяся результатом выражения «классических» величин в КМ,

«Классические» величины это тоже абстрактные объекты, заданные по определению в «классических» моделях.

«Классические» величины измеряются абсолютно точно только идеальными «классическими» приборами.

«Классических» приборов на свете также не существует, существуют лишь «квазиклассические» приборы, но имеющие определённую погрешность измерения (цену деления).

И благодаря измерениям «квазиклассическими» приборами, с определённой погрешностью измерения, мы получаем, либо картину «классического» мира (с коммутируемыми величинами), либо квантовую, в зависимости от «цены деления прибора» и «размеров» (массы, энергии) объектов.

[madschumacher]

Georgii в сообщении #1329747 писал(а):

Да, я тоже подумал об этом. Если вам не трудно, можете дать ссылку на случай узловой поверхности для 3D, или по каким ключевым словам искать, буду благодарен.

Я не очень понимаю, что Вам надо.
Вы хотели:

Georgii в сообщении #1329747 писал(а):

Имеется ввиду, что после разделения волновой функции, между её частями будет лежать пространство

На что я Вам сказал, что или будет не "пространство" (т.е. подпространство той же размерности, что и пространство, на котором определена В.Ф.), а плоскость, т.е. тоже подпростанство, но меньшей размерности, или же очень сложнофизичная задача.

RomanGrmv в сообщении #1329776 писал(а):

Квантовая механика, также как и классическая механика это всего лишь математические модели, соотносящиеся с какой-то точностью с измеряемыми величинами реального мира

Что Вы хотели сказать своим замечанием, не уточните?

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1329767 писал(а):

В 1D случае это называется узлами, в многомерном -- узловой поверхностью. Для создания новых узлов (у стационарных состояний) надо всего-лишь перейти в состояние, выше по энергии, чем предыдущее.

Это верно только в 1D. В размерности $2$ проблема описания узловых линий трудная и, несмотря на большое число работ первоклассных математиков, не очень хорошо исследованная, в более высоких размерностях все еще сложнее.

Чтобы продемонстрировать сложность: в размерности $1$ количество частей, на которые узловые точки делят отрезок (рассмотрим для простоты отрезок с нулевыми граничными условиями) равно $N$ (номеру собственного значения). А в размерности выше $1$ при $N=1$ (основное состояние) таких частей будет $1$, а при $n \ge 2$ –– все что угодно, от $2$ do $N$. Не говоря уже о том, что с.з. могут быть кратными.

Пример: рассмотрим $-\Delta$ в прямоугольнике $\{(x,y)\colon 0<x<a, 0<y<b\}$. В нем есть с.з. $\pi^2 (\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2})$ и с.ф. $\sin(\pi mx /a)\sin (\pi ny/b)$. У него нодальные линии образуют "решетку"

\begin{tikzpicture} \draw (0,0) grid (5,3); \end{tikzpicture}

Нодальных областей $m n$. Теперь чуть-чуть подпортим прямоугольник (сделаем его стороны не прямыми, а кривыми). И тогда узлы (самопересечения нодальных линий) "раскроются" , в каждом образуется проход то ли с северо-запада на юго-восток, то ли с северо-востока на юго-запад, и нодальных областей может остаться лишь две!

Я подозреваю, что все это неинтересно для квантовой механики. Поэтому

Georgii в сообщении #1329775 писал(а):

Это нужно для моей научной работы по основам квантовой механики.

выглядит малоосмысленно.

Впрочем, эта наука вышла из физики (пластины Хладни –– Chladni plates, которые очень любят демонстрировать физики школьникам).

-- 31.07.2018, 07:56 --

madschumacher в сообщении #1329785 писал(а):

Что Вы хотели сказать своим замечанием, не уточните?

Let sleeping dogs lie!

[RomanGrmv]

Цитата:

Что Вы хотели сказать своим замечанием, не уточните?

Я писал, на сообщения выше вашего (интернет тормозит).

Но и в вашем случае, Вы пишите про узлы, к примеру, «синусоиды» некоторой волновой функции скажем, в какой-то потенциальной яме.
Но это только идеальная задачка, когда потенциальный барьер «абсолютно классический».

В реальности и сам потенциальный барьер будет «не классическим». Т. е. «синусоида» волновой функции будет «размыта» и идеального «нулевого узла» не будет.

Всё, конечно, зависит от контекста, что требуется ТС.

[Georgii]

madschumacher в сообщении #1329785 писал(а):

Я не очень понимаю, что Вам надо.

Пример такой функции в 3D. Может научная статья, где такая функция описывается или глава учебника.

[Red_Herring]

Georgii в сообщении #1329804 писал(а):

где такая функция описывается

Какая функция? Примеров можно построить массу, но именно примеров

[Georgii]

RomanGrmv в сообщении #1329798 писал(а):

Всё, конечно, зависит от контекста, что требуется ТС.

Мне достаточно идеальной модели. (Криво выразился, не знаю как это нормально изложить, без учёта неидеальности реализации на практике).

-- 31.07.2018, 17:19 --

Red_Herring в сообщении #1329807 писал(а):

Какая функция? Примеров можно построить массу, но именно примеров

Например, волновая функция для случая 3D у которой есть плоскость, на которой она обращается в ноль. Похоже, таким примером может служить приведённый вами выше случай, только его надо преобразовать в случай трёх измерений. Получится параллелепипед, а внутри него будут плоскости на которых волновая функция обращается в ноль.

[Red_Herring]

Georgii в сообщении #1329808 писал(а):

Например, волновая функция для случая 3D у которой есть плоскость, на которой она обращается в ноль. Похоже, таким примером может служить приведённый вами выше случай, только его надо преобразовать в случай трёх измерений. Получится параллелепипед, а внутри него будут плоскости на которых волновая функция обращается в ноль.

Ну так преобразуйте, тоже мне бином Ньютона. Хотя это и посложнее, чем писать научную работу по (философским?) основам квантовой механики.

[Georgii]

Red_Herring
Спасибо, случай трёхмерной потенциальной ямы - то что нужно.

Добавление:
Хотя, для создания трёхмерной потенциальной ямы нужны бесконечно высокие барьеры, которые будут служить условием для граничных значений функции. А бесконечные высокие барьеры не подходят, так как их нет в природе.