Задача по ТВ- статистическая аномалия с пенальти в футболе

[Skipper]

Серия послематчевых пенальти в футболе в первом этапе происходит так - две команды бьют по 5 пенальти, и кто больше забил тот проходит плей-офф.

В случае равенства забитых, далее бьют уже по 1 удару, до первого несовпадения.

Интересна задача - какова вероятность что после 5-ти ударов, у обоих команд окажется одинаковое количество забитых мячей, если вероятность
гола после пенальти равна примерно $0.75 $ ?

Если бы вероятность гола после пенальти была равна $0.5$, то задача была бы намного более простой и сводилась к простейшей комбинаторике
на примере двоичных чисел.

В данном случае нужно считать вероятности всех точных исходов.
Возьмем 1-ю команду.

Вероятность что будут забиты все 5 мячей, равна очевидно, $( 0.75 ^ 5) = 0.2373046875$.

Вероятность что будут забиты ровно 4 мяча, равна $C_5^1 \cdot 0.25 ^ 1 \cdot 0.75 ^ 4 = 0.3955078125 $,

Вероятность что будут забиты ровно 3 мяча, равна $C_5^2 \cdot 0.25 ^ 2 \cdot 0.75 ^ 3 = 0.263671875 $,

Вероятность что будут забиты ровно 2 мяча, равна $C_5^3 \cdot 0.25 ^ 3 \cdot 0.75 ^ 2 = 0.087890625 $,

Вероятность что будут забит ровно 1 мяч, равна $C_5^4 \cdot 0.25 ^ 4 \cdot 0.75 ^ 1 = 0.0146484375 $,

Вероятность что будут забито ровно 0 мячей, равна $ 0.25 ^ 5 = 0.0009765625 $,

здесь всё верно ? Действительно, если сложить все эти вероятности, то получается ровно $1$.
Добавим теперь другую команду, у которой те же вероятности забить гол с пенальти.
Тогда множество всех точных исходов будет состоять из 36-ти вариантов, где каждый возможный исход 1-й команды, как то сочетается
с возможных исходом другой команды.
Но нас интересует только 6 независимых вариантов, с равенством забитых голов. (5 и 5, 4 и 4, 3 и 3, 2 и 2, 1 и 1, 0 и 0).

Отсюда следует, что искомая вероятность получить равенство голов послематчевых пенальти - равна сумме произведений, т.к.
события элементарные и не пересекаются, т.е. ,

$(0.2373046875^2 +0.3955078125^2 +0.263671875^ 2 + 0.087890625^2 + 0.0146484375^2 + 0.0009765625^2 ) = 0.290203094482421875 $

Имеем, что примерно 29% серий послематчевых пенальти в футболе должны заканчиваться одинаковым количеством забитых голов,
после чего уже бьют по 1 удару и до первого несовпадения. Верно я здесь всё посчитал?

Это 1/3 часть примерно! Но в жизни, я видел уже наверное около 20 серий послематчевых пенальти на ЧМ - и ЧЕ (чемпионаты мира и Европы) -
и кажется, только 1 раз видел, чтобы дело долшло до пробития 6-й пары ударов.

Видим, что существует чудовищная статистическая аномалия с футбольными сериями пенальти, и возможно, объясняется это тем
что как то силы мысли болельщиков влияют на полет мяча и исход пенальти. В конце создаётся чаще всего такая ситуация -
1) или бьющий игрок зная что если сейчас забьет то его команда выигрывает - чаще всего и забивает,
2) или бьющий игрок зная что если сейчас не забьет то его команда вылетает - чаще всего и не забивает,

Давно уже заметил такую интересную особенность.

[Евгений Машеров]

Да нет никакой аномалии. Есть условия задачи, в рамках которых получен ответ, и он не соответствует реальности постольку. поскольку не соответствуют реальности условия задачи. А именно:
1. Вероятности забить приняты равными (хотя, насколько я понимаю, смысл серии пенальти именно в том, что силы команд считаются неравными, и это неравенство должно проявиться здесь, через превосходство вратаря одной и нападающего другой команды; в противном случае можно было бы не тратить времени и кинуть монетку)
2. События "забил-не забил" считаются независимыми. Что тоже неправдоподобно. Хотя бы потому, что в проигрышной ситуации игрок нервничает больше, и это вероятность снижает.
Если учесть хотя бы неравенство сил (у одной команды вероятность забить, скажем, 80%, а у другой 70%, в среднем 75%) то картина меняется, вероятность совпадения уменьшится до 27%, а при 90% против 60% до 16%. Этого, видимо, недостаточно, чтобы объяснить обнаруженный Вами эффект, а предполагать более сильное различие силы команд вряд ли возможно.
Но остаётся вторая причина, зависимость вероятности забить от напряжения нервов игрока, а оно зависит от счёта.

[Skipper]

Цитата:

Этого, видимо, недостаточно, чтобы объяснить обнаруженный Вами эффект, а предполагать более сильное различие силы команд вряд ли возможно.
Но остаётся вторая причина, зависимость вероятности забить от напряжения нервов игрока, а оно зависит от счёта.

Да, скорее всего так и есть! Психологический фактор очень важен.

пенальти пробить - чтобы психологически было проще - надо просто представить что там нет никакого вратаря. 11 метров до ворот, 7-метровые ворота. Разгоняешься и со всей дури бьёшь куда нибудь в строну угла. (только не надо выцеливать в угол - так можно и промахнуться). вот между серединой ворот и углом. 75% вероятность гола гарантирована.
А когда смотришь на вратаря, думаешь, какой же он страшный, наверное вот сейчас отобьет, то он и отбивает.

В матче Россия-Хорватия (четвертьфинал чемпионата мира по футболу), со Смоловым именно то и произошло видимо..

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #1325663 писал(а):

В матче Россия-Хорватия (четвертьфинал чемпионата мира по футболу), со Смоловым именно то и произошло видимо..

А с Фернандесом не то?

[Tiberium]

Серия пенальти — это ведь и есть психология.

(Оффтоп)

https://www.nytimes.com/2010/05/31/sports/soccer/31penaltykicks.html
Здесь статья про исследования причин неудач в серии пенальти. Неудивительно, что сборная Англии по футболу фигурирует в ней неоднократно. Если кратко, основной вывод такой — все дело в волнении и эмоциональном напряжении пенальтистов. Есть много технических нюансов и психологических приемов, которые футболисты используют при пробитии одиннадцатиметровых (например, игнорирование наличия вратаря) или, наоборот, попытка анализировать стойку вратаря, но на крупных турнирах это все отходит на второй план. То же самое произошло со Смоловым и Марио Фернандесом.

[Евгений Машеров]

Walker_XXI в сообщении #1325668 писал(а):

А с Фернандесом не то?

Подозреваю, что попытался пробить очень уж тонко, чтобы неберущийся, но перестарался...

[yk2ru]

И сильно, и под штангу. Одно условие не исполнено в итоге.

[Евгений Машеров]

Поскольку форум всё же математический, то пока не отправили в лучшем случае в Свободный Полёт, а то и в Пургаторий, стоило бы вернуться к математике.
Вышеприведенные расчёты показывают, что реальная картина недостижима не только при предположении равной силы команд, но даже при разумной величине неравенства силы. Предложенное объяснение, что лидирующая позиция увеличивает вероятность забить - разумно, но интересно было бы оценить этот эффект количественно. Как можно было бы сформулировать модель и как её оценивать?

[Geen]

Евгений Машеров в сообщении #1325727 писал(а):

реальная картина недостижима

Хорошо бы для начала заиметь вменяемый источник данных послематчевых пенальти

-- 10.07.2018, 22:56 --

Skipper в сообщении #1325481 писал(а):

только 1 раз видел, чтобы дело долшло до пробития 6-й пары ударов

Я футбол не смотрю, но пару таких случаев, кажется, помню

[Skipper]

Цитата:

Хорошо бы для начала заиметь вменяемый источник данных послематчевых пенальти

Тут одного источника нет, но можно погуглить по всем играм чемпионатов, а вместе с тем, и послематчевым пенальти , которые были пробиты на ЧМ+ЧЕ скажем, с 1986 года, т.е. смотреть всю статистику этих чемпионатов, и тогда увидите, что не то что 29% нет (6-го пробития ударов), а скорее так в 1 матче из 20-ти и получается. Если будет время, я может позже, даже все случаи их пробития - и распишу.

[Geen]

Skipper в сообщении #1325742 писал(а):

Если будет время, я может позже, даже все случаи их пробития - и распишу.

Если уж соберётесь, то хорошо бы было включить в описание год, чемпионат и стадию.

[mihaild]

так себе источник писал(а):

A significant drop-off in success as pressure grows, with success rates dropping from 80 per cent for the first kicks per team to a low of 63 per cent for the fourth kicks.

[Cash]

Skipper в сообщении #1325742 писал(а):

Цитата:

Хорошо бы для начала заиметь вменяемый источник данных послематчевых пенальти

Тут одного источника нет, но можно погуглить по всем играм чемпионатов, а вместе с тем, и послематчевым пенальти , которые были пробиты на ЧМ+ЧЕ скажем, с 1986 года, т.е. смотреть всю статистику этих чемпионатов, и тогда увидите, что не то что 29% нет (6-го пробития ударов), а скорее так в 1 матче из 20-ти и получается. Если будет время, я может позже, даже все случаи их пробития - и распишу.

На чемпионатах мира до этого года было 2 из 26. 2 из 30 с учетом нашего чемпионата (хотя колумбийцы были очень близки)
https://www.bbc.com/russian/features-44662929

[mustitz]

Ну данная модель никак не объясняет, например, почему команда, которая наносит первый удар, выигрывает 60% серий. А с точки зрения модели всё симметрично :)
Интересно ещё посмотреть статистику того, какая вероятность прогрыша для команды, которая допустила первый промах. И сравнить с моделью.

В целом я бы, наверное, использовать не фиксированное значение $p=0.75$, а некоторое модифицированное $p=0.75 \cdot c(\delta, \varphi)$, где $\delta$ показывает разницу в счёте от $-3$ до $+2$, а $\varphi$ это наличие запасного удара ($0$ или $1$).

[mihaild]

mustitz в сообщении #1325818 писал(а):

Ну данная модель никак не объясняет, например, почему команда, которая наносит первый удар, выигрывает 60% серий.

Потому что выборка смешного размера?