Правильно ли я понимаю, что это заявление означает, что обобщённая функция - "почти везде обычная"?
Это некорректный вопрос. Дело в том, что для обобщенных функций мы знаем, что такое

на открытом множестве

:

для всех пробных функций

с носителями, содержащимися в

. И все. Ни о каких других множествах речи не идет.
Вот, например обобщенная производная от

, непрерывной но нигде не дифференцируемой функции, ни на каком открытом множестве с обычной не совпадает.
(Старый анекдот)
П. Доктор, меня все игнорируют!
Д. Следующий!