Механика - математика?

[dsge]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321129 писал(а):

Полагаю, что эта работа адресована тем, кто понимает, что динамических систем описываемых уравнениями вида (1.1) хватает

Указанная работа посвящена сингулярно-возмущенным системам. В топике речь идет о механике. Сингулярно-возмущенные системы и связанные с ними релаксационных колебаний иллюстрируются, обычно, примерами из радиотехники или даже экономики.

[fred1996]

Red_Herring в сообщении #1321130 писал(а):

Munin в сообщении #1321098 писал(а):

Например, теорема о том, что шар, катаясь по внутренней поверхности шероховатого цилиндра, никогда не опустится ниже некоторой высоты - физически очевидно противоречит реальности.

А разве такая теорема есть? Или, точнее, разве она так формулируется? Или все-таки там есть предположение об отсутствии трения (или, точнее, потерь энергии на трение)?

Проще это называтся качение без проскальзывания.
Теорема, это конечно громко сказано. Этак и прыгание абсолютно упругого мячика на одинаковую высоту можно обозвать теоремой.

[Metford]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321124 писал(а):

«теоретическая механика» это раздел математической физики.

Ну, вот это как раз Вы мнение математического факультета высказали, да? Полагаю, что Ландау с Вами бы не согласился.

pogulyat_vyshel в сообщении #1321124 писал(а):

Фактически изучаются дифференциальные уравнения и производные от них объекты, но эти уравнения и задачи пришли из физики, и результаты могут быть физически проинтерпретированы.

Не нужно ли здесь уточнить, что физическая интерпретация при этом должна быть свободна от терминов типа "гильбертово пространство", "мера" и т.п.?

pogulyat_vyshel в сообщении #1321124 писал(а):

Думаю, что попытки оправдать математическую неряшливость при чтении механики тем, что это дескать курс не для математиков, а для физиков, совершенно несостоятельны

Смотря что считать неряшливостью. Тут по-моему сильно зависит от того, кому читается курс. Вы пример могли бы привести?

pogulyat_vyshel в сообщении #1321124 писал(а):

Думаю, что это ненормально рассказывать квантовою механику так, как-будто гильбертовых пространств вообще не существует .

Ненормально. Но если мне предъявят квантовомеханический результат в терминах гильбертовых пространств, то это будет именно "сухая вода имени Ламба". Это будет не физика.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321124 писал(а):

Если бы эта работа была диссертацией, то ее совершенно спокойно приняли бы к защите как в совете по дифурам, так и в совете по механике.

В этом месте попробую проиллюстрировать отличие физики от математики. Некоторое время назад мы возились с похожей задачей о неустойчивости в кольцевом лазере. Там уравнений побольше, они еще и комплексные, естественно нелинейные, да еще и с задержанной обратной связью. Никаких теорем про такие системы мы не нашли, да и кажется мне, что нету их вовсе. С помощью компьютера, колхозной аналитики и чьей-то матери получили мы условие той неустойчивости, которую рассматривали (там, как показывает компьютер, еще и других до черта). Любой математик от этих упражнений схватился бы за голову и послал бы нас подальше. Однако прибор собрали, и замигал он примерно там где надо. Это я к тому, что у физиков имеется возможность в ответ (прибор) подсмотреть, и если ответы совпали, то он, как нерадивый ученик, математический марафет на свое воронье гнездо наводить не будет. Вон, туннелирование Ландау-Зинера было теоретиками получено в 30-х годах, а строго обосновано мат.физиками аж в 90-х. Ну нет обычно 60-ти лет на наведение марафета. Естественно, при таком подходе и провраться легко, но ведь в ответ можно подсмотреть.

[fred1996]

amon
Совершенно с вами согласен. Я, например, при конструировании оптических приборов сначала анализирую идаельный вариант, делаю расчет, делаю прибор и сверяю с результатом. Если все сходится, стоп машина. Если нет, анализирую побочные эффекты вычленяя на мой взгляд главные. Соответственно для каждого эффекта оценивается вклад и расчетная погрешность, с которой либо борешся, либо превращаешь в плюс. Нормальная работа, ничего общего не имеющая с работой математика, который просто не в состоянии вообще оценить что-либо в реальном мире. Но, знание матаппарата на непримитивном уровне все равно крайне желательно.
Ну и из последнего опыта по расчету интерференционных картин на сверхбольших интегральных схемах (масках) общение с теоретиками ничего не дало. Это как обед аиста с лисицей. Требуется знать чуток физики, чуток математики, аналитической геометрии и много-много программирования.

[pogulyat_vyshel]

dsge в сообщении #1321134 писал(а):

Сингулярно-возмущенные системы и связанные с ними релаксационных колебаний иллюстрируются, обычно, примерами из радиотехники или даже экономики.

"обычно" зависит от того, куда вы обычно смотрите. Привести пример системы вида (1.1) из механики -- не проблема

-- 19.06.2018, 19:42 --

Metford в сообщении #1321142 писал(а):

физическая интерпретация при этом должна быть свободна от терминов типа "гильбертово пространство", "мера" и т.п.?

мера это еще и вероятность, так что от понятия меры освобождаться давайте не будем

-- 19.06.2018, 19:43 --

Metford в сообщении #1321142 писал(а):

Вы пример могли бы привести?

рецензию Фока на "Механику" Ландау найдите, там таких примеров куча

-- 19.06.2018, 19:43 --

amon в сообщении #1321144 писал(а):

В этом месте попробую проиллюстрировать отличие физики от математики. Некоторое время назад мы возились с похожей задачей о неустойчивости в кольцевом лазере. Там уравнений побольше, они еще и комплексные, естественно нелинейные, да еще и с задержанной обратной связью. Никаких теорем про такие системы мы не нашли, да и кажется мне, что нету их вовсе. С помощью компьютера, колхозной аналитики и чьей-то матери получили мы условие той неустойчивости, которую рассматривали (там, как показывает компьютер, еще и других до черта). Любой математик от этих упражнений схватился бы за голову и послал бы нас подальше. Однако прибор собрали, и замигал он

Это все понятно, но в устоявшейся-то общей теории можно приличия соблюдать?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1321130 писал(а):

Или, точнее, разве она так формулируется?

Нет, разумеется. Мне вообще не важно, как она формулируется. Понимаете, физика не интересуют формулировки, его интересуют факты. Формулировки изображают дело так, как будто у фактов есть чёткие границы, а этого в реальности, разумеется, нет. Чёткие границы - это артефакт математической модели, пусть математики себя ими тешат.

Red_Herring в сообщении #1321130 писал(а):

Или все-таки там есть предположение об отсутствии трения (или, точнее, потерь энергии на трение)?

Вообще, как я понимаю, в теоретической механике трения нет - оно вынесено в отдельный предмет динамические системы. (Это, на самом деле, провокация, чтобы pogulyat_vyshel прокомментировал ещё и динамические системы.)

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321158 писал(а):

Это все понятно, но в устоявшейся-то общей теории можно приличия соблюдать?

Если речь о науке, то тут у математиков и физиков цели разные. У физиков-теоретиков - предсказать измеримое явление (туннелирование Ландау-Зинера), у экспериментаторов - получить эффект, желательно, теоретиками не предсказанный, но и предсказанный, но не измеренный - тоже сойдет. У математиков, как я понимаю, задача строго доказать некое положение (применимость и пределы применимости того асимптотического разложения, которые Ландау с Зинером применили от балды).
Если речь о преподавании, то опять же, математиков надо учить строго обосновывать, теоретиков - угадывать, а экспериментаторов - понимать чужие выкладки. С этой точки зрения механика ЛЛ не такой уж плохой учебник для физиков, особенно, если при изложении самые "удачные" места в нем, типа переменных действие-угол, заменить на Арнольда.

[Metford]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321158 писал(а):

мера это еще и вероятность, так что от понятия меры освобождаться давайте не будем

Хм. Пока есть в обиходе слово "вероятность" нет смысла заменять его словом "мера", если имеется в виду именно вероятность. Зачем тащить в физику шлейф, тянущийся за Вашей мерой?

(Оффтоп)

Кстати, должен выразить Вам возражение чисто этического свойства. Вы поправили сообщение, изменив его в этой части существенно уже после появления другого сообщения. Я эту поправку увидел совершенно случайно. Вот это - тоже неряшливость.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1321161 писал(а):

Понимаете, физика не интересуют формулировки, его интересуют факты. Формулировки изображают дело так, как будто у фактов есть чёткие границы, а этого в реальности, разумеется, нет. Чёткие границы - это артефакт математической модели, пусть математики себя ими тешат.

Ага, но вот допустим, что есть очень маленькое трение качения. Тогда для достаточно большой горизонтальной скорости при не очень больших временах эта "теорема" будет приближенно равна (другими словами, будет "фактом"), а при больших временах мы сможем методами теории возмущений описать дрифт траектории вниз.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1321165 писал(а):

У математиков, как я понимаю, задача строго доказать некое положение (применимость и пределы применимости того асимптотического разложения, которые Ландау с Зинером применили от балды).

Конечно нет. То, что физики применяют от балды и оно работает, как правило (хотя есть очень серьезные исключения) математически оказывается тоже вполне тривиальным.
А вот возьмите теорему Пуанкаре о возвращении. Это ведь очень важная теорема для физики с массой принципиальных следствий. Но что бы ее получить надо думать как математик.

[g______d]

Metford в сообщении #1321094 писал(а):

Начну с аналогии. Есть же предмет, обычно идущий под названием "Уравнения математической физики". Там математики обычно учат, как решать уравнения в частных производных (если что, я говорю о том, как физиков учат; в образование математиков, как обычно, не вторгаюсь). Но при этом было бы забавно объявить частью математики электродинамику, поэтому что в УМФ решают уравнение Пуассона или Гельмгольца; а ещё кинетику за уравнение теплопроводности - не говоря о разнообразных кинетических уравнениях. Ну и так далее.

С точки зрения «как решать уравнения» разделение весьма условно. Собственно, у нас большая часть именно вычислительных вещей (в стиле «довести до ответа») была на физике, а на математике мы занимались больше теоремами существования.

Тем же Максвеллом вполне занимаются математики, просто там базовая теория существенно сложнее.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321176 писал(а):

А вот возьмите теорему Пуанкаре о возвращении. Это ведь очень важная теорема для физики с массой принципиальных следствий. Но что бы ее получить надо думать как математик.

Я не утверждаю, что физиков не надо учить теории ОДУ, а надо научить их угадывать решения непонятно как. Я уже где-то говорил, что по моему мнению "на вершине знаний" стоит математика, а не физика. Пуанкаре, как, например, Л.Д. Фаддеев, с которым я имел счастье быть шапочно знакомым, это редкие исключения, которые сочетали физическую интуицию с математической строгостью. В результате они получили результаты, очень востребованные как физиками, так и математиками. Но такие люди как-то сами получаются. Если говорить о массовом образовании, то тут, IMHO, нужно делать поправку на то, кого мы готовим. Кроме того, сейчас образовался чудовищный разрыв между языком физиков и математиков. Это можно углядеть уже в этой теме, и если этой проблемой не озадачится, то очень скоро и те и другие совсем перестанут друг друга понимать. Сейчас по разным причинам производится огромное количество научного мусора, и углядеть в нем, скажем, приведенную Вами статью чертовски сложно.

[Metford]

g______d в сообщении #1321186 писал(а):

Собственно, у нас большая часть именно вычислительных вещей (в стиле «довести до ответа») была на физике, а на математике мы занимались больше теоремами существования.

"У нас" - это у математиков, в смысле? Если так, то я не удивляюсь. А у физиков теоремы существования, как правило, быстро проговариваются, по принципу "ну, вот есть такое" - а дальше занимаются решением уравнений, для которых эта теорема формулировалась. Раз уж решение существует. У нас на УМФ было так (вообще, по-моему наши математики с кафедры прикладной математики точно в физике понимали не слишком много, с ними не повезло).

amon в сообщении #1321187 писал(а):

сейчас образовался чудовищный разрыв между языком физиков и математиков. Это можно углядеть уже в этой теме, и если этой проблемой не озадачится, то очень скоро и те и другие совсем перестанут друг друга понимать.

А вот это по-моему куда более серьёзный вопрос, чем тот, что в этой теме обсуждается. И мне уже некоторое время очень интересно знать, что же со всем этим делать и кто этим озадачится (кажется, никто...). Не заставлять ведь физиков изъясняться исключительно формализованно с предварительным скрупулёзным изучением этого формализма! Так и на физику собственно времени не хватит...

[arseniiv]

Мне как человеку совершенно со стороны кажется, что некоторая доля нежелания сферического физика в вакууме (потому что я уверен, что есть куча физиков, которые таковыми не являются) немножко поразбираться в формализме излишня. Да, понятно, хочется отвести нос от этих доказывающих теоремы существования, но ведь они это не от хорошей жизни делают. Когда легко получить более сильный результат, разве ж его не получат и не покажут физикам? А когда человек работает с чем-то неформализованным, может оказаться, что он работает с вещами, которые просто не могут существовать — вот это меня немного удивляет, потому что интуиция совершенно не обязана быть корректной, если она не наработана на точном знании математики той модели, которую физик (или вообще не обязательно физик) использует. Достаточно открыть банальные «Контрпримеры в анализе», чтобы ужаснуться, что может такая интуиция подсказать неверно.

Так что, вероятно, я очень плохо представляю ситуацию.