дифференцирование на плоскости

[philurame]

Здравствуйте. Дана следующая задача: а) Постройте опровергающий пример к задаче (2.4b книги М. Спивака «Математический
анализ на многообразиях»):
Пусть g — непрерывная нечетная функция на единичной окружности. Определим функцию на
плоскости как линейную интерполяцию функции g на каждой прямой, проходящей через 0:

$$f(x)=$$

$$\begin{cases} |x,y|*g(\frac{(x,y)}{|x,y|}),&\text{если $(x,y)\ne0$;}\\ 0,&\text{если $(x,y)=0$.}\\ \end{cases}$$

Показать, что f не дифференцируема в нуле, кроме случая g ≡ 0.
б) Дайте правильную формулировку и докажите её

помогите, пожалуйста, придумать пример функции, никак не получается.

[ewert]

Дифференцируемость в нуле продолженной функции равносильна её линейности (как функции двух переменных). Просто потому, что дифференцируемость означает линейность в первом приближении, и при этом она по построению линейна в каждом направлении.

(скорее всего, в оригинальном условии опечатка -- имелась в виду функция чётная; впрочем, непрерывность в любом случае не при чём)

[philurame]

ewert
Я тоже думаю, что имелась ввиду четная функция, но как доказать, что тогда она будет не дифференцируема в нуле? Я попытался взять частные производные и доказать, что одна из них будет разрывна в нуле, но, кажется, не получается..

[ewert]

philurame в сообщении #1318892 писал(а):

Я попытался взять частные производные и доказать, что одна из них будет разрывна в нуле, но, кажется, не получается..

И не должно получаться, т.к. частные производные имеют отношение к дифференцируемости лишь в одну сторону. Если есть дифференцируемость, то есть и частные производные, обратное неверно. А Вам нужна именно дифференцируемость; вспомните определение.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.