О центре масс

[misha.physics]

Здравствуйте. Начал читать о двумерных вращениях у Фейнмана.

Пусть имеется несколько частиц. На каждую действует сила:

$$\boldsymbol{F}_i=m_i\frac{d^2\boldsymbol{r}_i}{dt^2}$$

Сложим все сили действующие на частицы:

$$\sum\limits \boldsymbol{F}_i=\boldsymbol{F}=\frac{d^2\sum\limits(m_i\boldsymbol{r}_i)}{dt^2}$$

Потом говорим, что $\boldsymbol{F}$ это внешняя сила и находим такой радиус-вектор $\boldsymbol{R}$, чтобы:

$$\boldsymbol{F}=M\frac{d^2\boldsymbol{R}}{dt^2}$$

Где $M$ полная масса.
И обзываем $R$ центром масс.

Вопрос: но ведь силы $\boldsymbol{F}_i$ приложены к разным точкам. Как мы можем их складывать? И почему позже, мы говорим, что сумарная внешняя сила $\boldsymbol{F}$ приложена именно к центру масс?
Ну второе понятно из формулы, но как все-таки быть с тем, что силы приложены к разным точкам? Или здесь все правильно?

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1315945 писал(а):

Вопрос: но ведь силы $\boldsymbol{F}_i$ приложены к разным точкам. Как мы можем их складывать?

Можем складывать, а можем не складывать. Почему бы благородным донам не сложить несколько векторов? Вопрос в другом - есть ли в этом физический смысл.
А он есть. Так как массы частиц считаем постоянными, а оператор дифференцирования линейный, то и получается, что сумма сил действующая на точки есть суммарная сила действующая на ц.м.

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1315945 писал(а):

Вопрос: но ведь силы $\boldsymbol{F}_i$ приложены к разным точкам. Как мы можем их складывать?

А это хороший вопрос. Эти вектора сил переносятся параллельным переносом в точку центра масс тела. При таком переносе у них сохраняется модуль и направление. В сумме получается результирующая сила, действующая на тело. В ньютоновской механике так делать можно.

[misha.physics]

EUgeneUS,

Цитата:

Можем складывать, а можем не складывать. Почему бы благородным донам не сложить несколько векторов? Вопрос в другом - есть ли в этом физический смысл.

Понимаю, согласен. Можем все эти векторы приставить к одной точке и формально просуммировать.

-- 29 май 2018, 16:53 --

realeugene,

Цитата:

Эти вектора сил переносятся параллельным переносом в точку центра масс тела.

Просто получается так, как будто мы ещё не нашли выражение для центра масс, но уже знаем, что так сделать можно. Что можно параллельно перенести и приставить все силы к точке центра масс. На какой-то замкнутый круг похоже. Хотелось бы на это с какой-то другой стороны посмотреть если возможно.

[DimaM]

misha.physics в сообщении #1315945 писал(а):

И почему позже, мы говорим, что сумарная внешняя сила $\boldsymbol{F}$ приложена именно к центру масс?

Действительно, почему вы так говорите?
Обычно говорят, что движение центра масс не зависит от точек приложения сил (что непосредственно видно из выписанного уравнения).

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1315965 писал(а):

Просто получается так, как будто мы ещё не нашли выражение для центра масс, но уже знаем, что так сделать можно.

Да, знаем, потому что так можно сделать для произвольной точки, и результат не изменится.
Как именно вы понимаете третий закон Ньютона? В нём, ведь, сравниваются силы, приложенные к разным точкам?

[iifat]

misha.physics в сообщении #1315965 писал(а):

На какой-то замкнутый круг похоже

Ну, на самом-то деле, пришли, наверное, по-другому. Потому, подозреваю, и не советуют читать первоисточники — учебник показывает простой и изящный путь.
И замкнутого круга на самом-то деле нет. Просто берём кучу уравнений движения и выводим из неё ещё одно. И видим: ба, да центр масс движется, как будто в ём сидит суммарная масса, на которую действует суммарная сила!
Силы действительно действуют ;) каждая в точке своего приложения. И движение системы обязано это учитывать.
А движение центра масс — это некая (неполная!) характеристика системы тел. Если нам нужны подробности, придётся, никуда не денешься, честно решать всю систему. А если достаточно знать, как будет двигаться воображаемая точка — центр масс — не обязательно решать всю систему. Достаточно одного уравнения.

[misha.physics]

DimaM,

Цитата:

Действительно, почему вы так говорите?
Обычно говорят, что движение центра масс не зависит от точек приложения сил (что непосредственно видно из выписанного уравнения).

Из уравнения:

$$\boldsymbol{F}=M\frac{d^2\boldsymbol{R}}{dt^2}$$

можно сказать, что сила $\boldsymbol{F}$ приложена к точке с радиус-вектором $\boldsymbol{R}$. Если мы забудем, что $\boldsymbol{R}$ это центр масс и т. д., то получим обычный закон Ньютона, а в нем сила приложена к точке, на которую она дейсвует.

realeugene,

Цитата:

Как именно вы понимаете третий закон Ньютона? В нём, ведь, сравниваются силы, приложенные к разным точкам?

Там всё чуть проще. Силы не просто параллельны, но и лежат на одной прямой. И там мы рассматриваем точечные частицы. Так что там нет разницы, к какой части тела мы приложим силу. Точке ведь не имеет размеров. Рассмотрим кубик. Если мы приложим силу к его центру мас, то он не будет вращаться, а если к какой-то другой точке, то он завращается. Хотя я раньше как-то и не думал об этом. Спасибо :)

Давайте рассмотрим пример. Из похожих соображений и возник мой вопрос. Пусть есть тело - гантелька. Две одинаковые массы (шарики) расположены на концах стержня (пусть он невесомый). Пусть они (шарики) не действуют друг на друга. Поместим эту систему куда-то в вакуум. Пусть теперь имеется внешняя сила, действующая только на один шарик в каком то направлении (например, перпендикулярно стержню). То есть эта сила приложена к этому одному шарику. Центр масс системы - это геометрическая середина стержня. Что же получается, что согласно теореме о центре масс мы можем приложить эту силу к середине стрежня взяв удвоенную массу шаров как массу всей системы? Но когда внешняя сила приложена к одному шару, то эта система, думается мне, должна вращаться, а если мы приложим её к центру масс (и возьмем удвоенную масу), то вращения быть не должно. Как-то так. Здесь вероятно сидит какая-то ошибка.

Да, мы говорим только о движении центра масс сейчас. Но разве в этих обоих случаях он будет двигаться одинаково?

-- 29 май 2018, 17:51 --

realeugene,

Цитата:

Как именно вы понимаете третий закон Ньютона? В нём, ведь, сравниваются силы, приложенные к разным точкам?

Понимаю, что модули этих сил равны, действуют они вдоль прямой, соединяющей эти два тела, и имеют противоположные направления. Но здесь как-то проблемы, что эти силы приложены к разным телам у меня не возникает.

-- 29 май 2018, 17:52 --

realeugene,

Цитата:

Да, знаем, потому что так можно сделать для произвольной точки, и результат не изменится.

Вот это меня заинтересовало. Можете объяснить?

-- 29 май 2018, 17:54 --

DimaM,

Цитата:

Обычно говорят, что движение центра масс не зависит от точек приложения сил (что непосредственно видно из выписанного уравнения).

Вы имеете ввиду, что ...не зависит от точек приложения сил к составным телам системы, надеюсь я правильно понял.

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1315998 писал(а):

Силы не просто параллельны, но и лежат на одной прямой. И там мы рассматриваем точечные частицы. Так что там нет разницы, к какой части тела мы приложим силу. Точке ведь не имеет размеров. Рассмотрим кубик. Если мы приложим силу к его центру мас, то он не будет вращаться, а если к какой-то другой точке, то он завращается.

Эти рассуждения неправильные. Эти силы, действия и противодействия, что принципиально, действуют на различные точки. Первая - это сила, с которой первая точка действует на вторую. А вторая - это сила, с которой вторая точка, в свою очередь, действует на первую. Точки находятся на некотором расстоянии друг от друга, так что, тут подразумевается дальнодействие, применимое к ньютоновской механике, но недопустимое в теориях относительности.

-- 29.05.2018, 18:58 --

misha.physics в сообщении #1315998 писал(а):

Здесь вероятно сидит какая-то ошибка.

Именнно так. Центр масс - точка, и про его вращение рассуждать бессмысленно. Равнодействующая сила описывает динамику движения центра масс как материальной точки, но не динамику вращения тела вокруг центра масс.

-- 29.05.2018, 19:00 --

misha.physics в сообщении #1315998 писал(а):

Вот это меня заинтересовало. Можете объяснить?

Что такое сумма векторов?

[Munin]

misha.physics в сообщении #1315998 писал(а):

Да, мы говорим только о движении центра масс сейчас. Но разве в этих обоих случаях он будет двигаться одинаково?

Да, одинаково.

[misha.physics]

realeugene,

Цитата:

Что такое сумма векторов?

Сумма перемещений.
Но при геометрическом сложении векторов, предполагается, что мы можем переносить векторы параллельно себе как хотим. Понятно. Но когда мы говорим о точке приложения силы, то здесь уже не так все просто.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1315945 писал(а):

Сложим все сили действующие на частицы:

$$\sum\limits \boldsymbol{F}_i=\boldsymbol{F}=\frac{d^2\sum\limits(m_i\boldsymbol{r}_i)}{dt^2}$$

Потом говорим, что $\boldsymbol{F}$ это внешняя сила и находим такой радиус-вектор $\boldsymbol{R}$, чтобы:

$$\boldsymbol{F}=M\frac{d^2\boldsymbol{R}}{dt^2}$$

Где $M$ полная масса.
И обзываем $R$ центром масс.

Вы понимаете, что в этом месте никаких новых фактов не вводится, а только производится переобозначение?

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1316009 писал(а):

Сумма перемещений.

Упс... А что такое "вектор силы"?

[misha.physics]

Munin в сообщении #1316011 писал(а):

misha.physics в сообщении #1315945 писал(а):

Сложим все сили действующие на частицы:

$$\sum\limits \boldsymbol{F}_i=\boldsymbol{F}=\frac{d^2\sum\limits(m_i\boldsymbol{r}_i)}{dt^2}$$

Потом говорим, что $\boldsymbol{F}$ это внешняя сила и находим такой радиус-вектор $\boldsymbol{R}$, чтобы:

$$\boldsymbol{F}=M\frac{d^2\boldsymbol{R}}{dt^2}$$

Где $M$ полная масса.
И обзываем $R$ центром масс.

Вы понимаете, что в этом месте никаких новых фактов не вводится, а только производится переобозначение?

Да, с математической точки зрения здесь все правильно. Вопрос возникает ещё ранее. Откуда мы знаем, что можем суммировать силы приложены к разным составляющим системы, потом обозначить эту сумму одним вектором, и потом прикладывать его к какой-то точке системы?
А можно ли сказать, что тот факт, что мы можем так складывать силы действующие на разные части системы это факт экспериментальный? И никаких чисто математических оснований для него нет?

[Munin]

misha.physics в сообщении #1316009 писал(а):

Понятно. Но когда мы говорим о точке приложения силы, то здесь уже не так все просто.

Я думаю, ваше недоверие связано с тем, что вы не полностью знаете механику вращательного движения. Например, движение твёрдого тела может быть разложено на движение точки, и вращение вокруг этой точки - это простая и строгая геометрическая теорема. Вопрос только в том, чтобы выбрать эту точку, и из удобства её выбирают равной ц. м.