Не понимаю, для чего нужна формула условной вероятности

[Ktina]

Рассмотрим следующую задачу:

Из колоды в 36 карт вынимают 2. Найти вероятность, что карты будут одной
масти, если известно, что там нет тузов.

Лично я решаю такую задачу "обманным" путём, не применяя формулу условной вероятности, а именно, просто представляю себе, что тузов не было изначально, то есть, у нас 32 карты, по 8 карт каждой из 4 мастей, и тогда задача сводится к простейшей комбинаторной. В этом случае всего у нас 112 способов выбрать две карты одной масти, делим эти 112 на число способов выбрать две разные карты из 32 и получаем $\dfrac{7}{31}$, разве это не верный ответ на задачу?

Или я снова чего-то не понимаю?
Пожалуйста, помогите разобраться.

[Pphantom]

Пусть есть колода из двух карт: короля и туза. Какова вероятность вытащить из нее короля при условии, что вытащенная карта - не туз?

[Otta]

Ktina
Это то же самое, что и используя формулу условной вероятности. Условная вероятность (и ее формула) именно из таких соображений и получается.
Ответ правильный.

[thething]

Ktina в сообщении #1315804 писал(а):

Не понимаю, для чего нужна формула условной вероятности

Чтобы по ней считать
Например, точно так же можно спросить, зачем нужна формула числа сочетаний $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, если можно и так руками перебрать. За конечное время.

[wrest]

Ktina
Есть подобная "какого пола второй ребенок" загадка по условным вероятностям, вызывающая в интернетах энергичное обсуждение:

Вы заблудились в огромном тропическом лесу и в попытках выжить съедаете ядовитый гриб. Противоядие содержится лишь в определенных видах лягушек и лишь в женских особях. Мужские и женские особи ничем внешне не отличаются. Их равное количество, и они не имеют никаких различимых признаков, кроме одного: мужские особи издают другие звуки.
Но сегодня вам очень везет, и слева от себя вы замечаете лягушку сидящую на пне. Однако перед тем как пойти к ней, вы вдруг слышите кваканье мужской особи исходящее с противоположной стороны. Здесь вы видите две лягушки, но вы все еще не знаете какая из них издавала эти звуки. Хорошее самочувствие покидает вас, и вы понимаете, что у вас хватит сил лишь для того, чтобы пойти в одну сторону.
Каковы ваши шансы на выживание, если вы пойдете на поляну к двум лягушкам и оближете их обе? Или же, что будет, если вы пойдете к одинокой лягушке на пне? Какой путь выберете вы?

"Огромный тропический лес" в условиях означает, что лягушек нужного вида в нем очень много, а "Их равное количество" означает, что если заткнуть уши, то любая увиденная лягушка равновероятно самец/самка.

[Pphantom]

(Оффтоп)

Ладно, мое сообщение "не пошло", поэтому объяснюсь детальнее. При таком толковании условия действительно разницы нет (кроме скорости получения ответа), но подразумевалось ли именно это в условии? Как-то кажется, что отсутствие тузов - все же не априорная информация, а часть описания события, и тогда решение (и ответ) будут другими.

[provincialka]

Pphantom
К текстовой формулировке всегда можно придраться... Но все-таки слова "если известно, что", трудно не считать условием.

Другая формулировка звучала бы "карты одной масти, но не тузы".

[Pphantom]

provincialka, спасибо. Ну ладно, значит, это только мне такое толкование показалось возможным.

[wrest]

Pphantom
Мне кажется что в задачах на условные вероятности часто возникает непонимание из-за неясной формулировки что именно значит "при условии, что". То есть -- вы вытягиваете карту из двух (короля и туза), вероятность вытянуть короля 1:2, затем кто-то её смотрит и говорит вам "там не туз", и тогда вероятность короля там повышается до 1. Но из 1000 вытягиваний все равно 500 придется на короля и 500 на туза. Если же убрать туза до вытягивания, то все 1000 вытягиваний дадут короля.

Ktina
Может быть такая вариация на тему "какого пола второй ребенок" в переложении на королей и тузов. У вас колода только из королей и тузов, их в колоде много и их равное количество. Вы вытягиваете две карты не видя какие они, и далее вам говорят
1) первая из вытянутых -- туз
2) одна из вытянутых -- туз
и предлагают оценить вероятность что в вытянутых есть король в случаях 1) и 2).

[Sicker]

wrest в сообщении #1315822 писал(а):

Каковы ваши шансы на выживание, если вы пойдете на поляну к двум лягушкам и оближете их обе? Или же, что будет, если вы пойдете к одинокой лягушке на пне? Какой путь выберете вы?

две трети и половина

[Sicker]

Сорри за некропостинг, но мне есть что сказать

Otta в сообщении #1315807 писал(а):

Условная вероятность (и ее формула) именно из таких соображений и получается.

На самом деле нет.
Потому что

Pphantom в сообщении #1315823 писал(а):

Как-то кажется, что отсутствие тузов - все же не априорная информация, а часть описания события, и тогда решение (и ответ) будут другими.

provincialka в сообщении #1315826 писал(а):

К текстовой формулировке всегда можно придраться... Но все-таки слова "если известно, что", трудно не считать условием.

И?

Pphantom в сообщении #1315827 писал(а):

Ну ладно, значит, это только мне такое толкование показалось возможным.

Нет, я его тоже придерживаюсь

wrest в сообщении #1315828 писал(а):

Но из 1000 вытягиваний все равно 500 придется на короля и 500 на туза.

Ну да, просто убираем те варианты, где мы вытянули туза, это следует из определения условной вероятности.
Ktina
По ответу решение верное, а по сути не совсем, точнее жульничество тут есть. Ибо то, что мы вытянули карты, где нет туза, это апостериорная информация, а не априорная.
Вот вам похожая задачка, где ваше решение не сработает
Пусть есть три колоды, одна обычная, вторая колода содержит 35 тузов и одного красного короля, а третья колода содержит 35 карт без красного короля. Сначала мы выбираем карту из первой колоды, а потом с вероятностью 1/2 тянем карту из второй колоды, иначе из третьей. Мы знаем, что из вытянутых карт нет туза. Найти вероятность того, что в вытянутых двух картах будет красный король.

[ewert]

Sicker в сообщении #1322291 писал(а):

Otta в сообщении #1315807 писал(а):

Условная вероятность (и ее формула) именно из таких соображений и получается.

На самом деле нет.
Потому что

Pphantom в сообщении #1315823 писал(а):

Как-то кажется, что отсутствие тузов - все же не априорная информация, а часть описания события, и тогда решение (и ответ) будут другими.

И тем не менее -- да, в данном случае -- ровно из этих соображений. Ибо

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{N(AB)}{N}\cdot\frac{N}{N(B)}=\frac{N(AB)}{N(B)}.$$

[Sicker]

ewert в сообщении #1322295 писал(а):

И тем не менее -- да, в данном случае -- ровно из этих соображений. Ибо

Просто тут у каждого события своя вероятность, фактически независящая от других. Я вот привел пример, когда такие рассуждения ТС не работают

[ewert]

Sicker в сообщении #1322300 писал(а):

Просто тут у каждого события своя вероятность, фактически независящая от других.

Вообще-то вполне себе зависящая, но дело не в этом. Тут, видите ли, смотря что считать курицей, а что яйцом. Ведь формула $\frac{P(AB)}{P(B)}$ ниоткуда не выводится, она постулируется. А на каком, собственно, основании?.. -- Именно на том, что в классическом случае естественно называть условной вероятностью отношение $\frac{N(AB)}{N(B)}$. (Ну тут дело не только в классической вероятности, но и в геометрической, и в статистическом "определении" вероятности, но идейно всё это восходит к классической). Реплика Otta, как я понял, ровно к этому и сводилась.

Что же до Вашей задачи, то она не чисто комбинаторная. Т.е. её тоже можно свести к комбинаторной, сочинив пространство из равновероятных исходов, просто это очень неудобно делать.

[Sicker]

ewert в сообщении #1322304 писал(а):

Именно на том, что в классическом случае естественно называть условной вероятностью отношение $\frac{N(AB)}{N(B)}$.

Согласен

ewert в сообщении #1322304 писал(а):

Что же до Вашей задачи, то она не чисто комбинаторная. Т.е. её тоже можно свести к комбинаторной, сочинив пространство из равновероятных исходов, просто это очень неудобно делать.

Угу, но тогда рассуждения ТС об убирании тузов все равно не будут работать