Классы эквивалентности, мощность множества

[NSUmath]

Будет говорить, что a ~ b, если (a - b) $\in$ Q, где a,b - вещественные числа.
Сколько таких классов эквивалентности?
Я решал так
1) Их точно не больше чем континуум, т.к вещественных чисел континуум.
2)Рациональных чисел счётно, соответственно если берём a из R, то в этом классе будет счётное число элементов. Т.е любой класс по данному отношению содержит счётное число элементов. Теперь, если объединить все такие классы, то получим в точности R, отсюда следует таких классов континуум.
Вопрос: почему в каждом классе счётное число элементов? никак не получается доказать

[mihaild]

Вот взяли какой-нибудь класс. Давайте возьмем и зафиксируем какой-нибудь элемент $x$ из него. Давайте попробуем построить биекцию между $\mathbb{Q}$ и этим классом. Начнем с $x$, его чтобы не думать слишком много отобразим в $0$. Теперь берем какой-нибудь еще элемент из этого класса - например $x + q$, где $q \in \mathbb{Q}$. Куда бы его отобразить?

-- 24.05.2018, 17:23 --

NSUmath в сообщении #1314614 писал(а):

Их точно не больше чем континуум, т.к вещественных чисел континуум.

Аксиома выбора у вас есть? Без нее эта импликация неверна.

NSUmath в сообщении #1314614 писал(а):

Теперь, если объединить все такие классы, то получим в точности R, отсюда следует таких классов континуум.

Это надо еще доказать - что если каждый класс счетен, а их объединение континуально, то классов не меньше континуума.

[NSUmath]

mihaild в сообщении #1314618 писал(а):

Вот взяли какой-нибудь класс. Давайте возьмем и зафиксируем какой-нибудь элемент $x$ из него. Давайте попробуем построить биекцию между $\mathbb{Q}$ и этим классом. Начнем с $x$, его чтобы не думать слишком много отобразим в $0$. Теперь берем какой-нибудь еще элемент из этого класса - например $x + q$, где $q \in \mathbb{Q}$. Куда бы его отобразить?

-- 24.05.2018, 17:23 --

NSUmath в сообщении #1314614 писал(а):

Их точно не больше чем континуум, т.к вещественных чисел континуум.

Аксиома выбора у вас есть? Без нее эта импликация неверна.

NSUmath в сообщении #1314614 писал(а):

Теперь, если объединить все такие классы, то получим в точности R, отсюда следует таких классов континуум.

Это надо еще доказать - что если каждый класс счетен, а их объединение континуально, то классов не меньше континуума.

Аксиома выбора есть.
Объединение счётного кол - ва счётных множеств счётно, а мощность R - континуум. Значит классов континуум.
x+q отобразим в q

[mihaild]

NSUmath в сообщении #1314627 писал(а):

Объединение счётного кол - ва счётных множеств счётно, а мощность R - континуум. Значит классов континуум.

Нет, не значит. Значит, что их не счетно.

[NSUmath]

mihaild в сообщении #1314633 писал(а):

NSUmath в сообщении #1314627 писал(а):

Объединение счётного кол - ва счётных множеств счётно, а мощность R - континуум. Значит классов континуум.

Нет, не значит. Значит, что их не счетно.

Почему? Мы принимает континуум - гипотезу, т.е между счётным и континуумом нет промежуточной мощности.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- имеется явная нехватка знаков препинания и заглавных букв (там, где они должны быть).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.