Устойчивое равновесие зарядов

[Rusit8800]

Решаю задачу 3 отсюда, правильным способом и неправильным. Начну с правильного. Я вывел модуль равнодействующей касательной силы, которая возвращает заряд $Q$ обратно:

$$\[F = k\frac{{qQ}}{{4{R^2}\cos \varphi }}\sin \varphi - mg\sin 2\varphi \]$$

Здесь угол $\varphi $ определяет положение заряженного шарика относительно вертикали (на рисунке угол равен $0$).
Правильное решение заключается в том, что если $\varphi $ мал, то $F=0$, тогда

$$\[k\frac{{qQ}}{{4{R^2}}}\varphi - mg \cdot 2\varphi = 0\]$$

и получим

$$\[q = \frac{{8{R^2}mg}}{{kq}}\]$$

А почему нельзя записать тупо

$$\[k\frac{{qQ}}{{4{R^2}}} = mg\]$$

и получить ответ, в $2$ раза меньший правильного?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1314554 писал(а):

А почему нельзя записать тупо

$$\[k\frac{{qQ}}{{4{R^2}}} = mg\]$$

и получить ответ, в $2$ раза меньший правильного?

Записать тупо можно. "Любая сложная задача имеет простое, легкое для понимания неправильное решение."
Только это не будет устойчивым равновесием.

[pogulyat_vyshel]

устойчивое положение равновесия это минимум потенциальной энергии

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1314554 писал(а):

Правильное решение заключается в том, что если $\varphi $ мал, то $F=0$, тогда

Правильное решение заключается не в этом.
Напишите условия
а) Равновесия
б) Устойчивого равновесия

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1314559 писал(а):

Правильное решение заключается не в этом.

А в чем?

EUgeneUS в сообщении #1314559 писал(а):

а) Равновесия

Я так понял, что это та "тупая" запись. Там равновесие неустойчиво.

EUgeneUS в сообщении #1314559 писал(а):

б) Устойчивого равновесия

Это была запись моего правильного решение, которое, как вы говорите, не совсем правильно.

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1314560 писал(а):

Это была запись моего правильного решение, которое, как вы говорите, не совсем правильно.

Ответ Вы получили верный, но предпосылки к нему, которые я процитировал - неверные. Поэтому и ошибку в неправильном решении Вы сразу не заметили\не поняли.

[Rusit8800]

Так что там неверно? Объясните, пожалуйста. Я действительно именно из-за этого не понимаю ошибку в неправильном решении.

[EUgeneUS]

Rusit8800
Нужно ответить на два вопроса выше.
На оба из них дал ответ уважаемый pogulyat_vyshel, но это не отменяет того, что ответы нужно дать Вам.

[Rusit8800]

Загуглил теорему Лагранжа об устойчивости равновесия. Согласно этой теореме утверждение pogulyat_vyshel является достаточным, но не факт, что оно будет необходимым. Мы можем получить неполный ответ.

[EUgeneUS]

Rusit8800
Утверждением pogulyat_vyshel нужно еще уметь воспользоваться.
Сможете записать потенциальную энергию для данной системы? А потом найти, когда её минимум будет в верхней точке?

[rascas]

Rusit8800 в сообщении #1314554 писал(а):

если $\varphi $ мал, то $F=0$

Нету здесь такой причинно следственной связи.

[Rusit8800]

Записал кучу уравнений, ответ отличается только множителем $R$. Не понимаю почему.
Потенциальная энергия в зависимости от угла $\varphi $ имеет вид:

$$\[E = \frac{{kqQ}}{{4{R^2}{{\cos }^2}\varphi }} + 2mgR{\cos ^2}\varphi \]$$

Делаем замену $\cos ^2}\varphi = x$ и исследуем функцию

$$\[E(x) = \frac{{kqQ}}{{4{R^2}x}} + 2mgRx\]$$

Запишем уравнение $\[E'(x) = 0\]$:

$$\[ - \frac{{kqQ}}{{4{R^2}{x^2}}} + 2mgR = 0\]$$

и получим

$$\[x = \frac{{\sqrt 2 \sqrt {mgRkqQ} }}{{4mg{R^2}}}\]$$

Заметим, что

$$\[E''(x) = \frac{{kqQ}}{{2{R^2}{x^3}}}\]$$

и если полученный корень подставить во вторую производную, то она будет положительна, значит это минимум. Подставляя полученный минимум в $E(x)$, получим:

$$\[{E_{\min }} = \frac{{k\;q\;Q\;\sqrt 2 mg}}{{\sqrt {mgRk\;q\;Q} }}\]$$

По условию, это выражение функция $E(x)$ приминает в верхней точки полости, но в этой точке $x=1$, откуда получим уравнение$E(1)={E_{\min }$:

$$\[{k\frac{{qQ}}{{4{R^2}}} + mg2R = \frac{{k\;q\;Q\;\sqrt 2 mg}}{{\sqrt {mgRk\;q\;Q} }}}\]$$

отсюда

$$\[{q = \frac{{8{R^3}gm}}{{Qk}}}\]$$

-- 24.05.2018, 15:02 --

Вообще, как-то громоздко задача решается. Тут на 6 странице решение короче.

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1314584 писал(а):

Записал кучу уравнений, ответ отличается только множителем $R$. Не понимаю почему.

Нужно срочно разобраться. Чему равен потенциал точечного заряда?

Rusit8800 в сообщении #1314584 писал(а):

Потенциальная энергия в зависимости от угла $\varphi $ имеет вид:

Задача вообще говоря двумерная, Вы свели её к одномерной, предполагая, что частица обязательно движется по поверхности полости. Это требует обоснования.

Rusit8800 в сообщении #1314584 писал(а):

Вообще, как-то громоздко задача решается. Тут
на 6 странице решение короче.

Там другая задача решается.

И с заменой переменных у Вас неаккуратно вышло.

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1314587 писал(а):

Чему равен потенциал точечного заряда?

Ой, извините, я глупый Перепутал силу и энергию.

EUgeneUS в сообщении #1314587 писал(а):

Это требует обоснования.

Я это считал как само собой разумеющееся - сила Кулона прижимает шарик с стенке. Если вдруг ее станет не хватать и сила тяжести одержит вверх, то шарик просто остановится, прилипши к стене.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Rusit8800 в сообщении #1314573 писал(а):

является достаточным, но не факт, что оно будет необходимым. Мы можем получить неполный ответ.

Из серии "слышу звон да не знаю где он" Да, смешно. Люблю когда школьник пыжится