Изоморфизм колец

[wooddii]

bot в сообщении #1313671 писал(а):

wooddii в сообщении #1313657 писал(а):

Кольцо вычетов по модулю два.

Ну вот, а ежели его взять вместо $\mathbb Z$? Хлопот меньше будет, нет?

Да, вы совершенно правы!
Теперь все прояснилось.
Спасибо большое Всем за потраченные время и нервы!

[vpb]

wooddii в сообщении #1313673 писал(а):

Да, вы совершенно правы!
Теперь все прояснилось.
Спасибо большое Всем за потраченные время и нервы!

Увы, и на Солнце бывают пятна, и ЗУ иногда ошибаются. Я сам недавно ошибся. Сдается мне, если в исходном кольце не выполнено тождество $x+x=0$, то ограничиваться присоединением ${\mathbb Z}_2$ недостаточно.

[arseniiv]

Фу, я уж испугался. Хотя, действительно, в любом случае я зря там выше развёл страшилки про предельные переходы и ординалы — можно просто взять этакое свободное кольцо с единицей нужного размера и профакторизовать как следует. Если размер и факторизацию определять с учётом интересующего кольца, получится что надо. Но всё равно выглядит как-то абстрактно — по идее эта конструкция должна упрощаться до чего-нибудь чуть более конкретного. А так всё просто: каждому элементу исходного кольца $K$ сопоставляем порождающий элемент нового свободного кольца с единицей $G = \mathbb Z[K]$, факторизуем его после этого по наименьшему идеалу $I$, содержащему всяческие $x+y-(x+_Ky)$ и $xy-(x\cdot_Ky)$, где $+_K,\cdot_K$ — сложение и умножение в исходном кольце. В результат $G/I$ очевидно вкладывается и исходное кольцо, и единицу он по построению содержит.

-- Вс май 20, 2018 20:41:07 --

Ой, у меня тут коммутативно вышло, надо вместо $\mathbb Z[K]$ брать кольцо всевозможных формальных сумм формальных (некоммутативных) произведений элементов $K$.

[vpb]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1313709 писал(а):

в любом случае я зря там выше развёл страшилки про предельные переходы и ординалы

Мне сдается, коллега, что Вы вообще, так сказать, Хичкок нашего городка...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Что всех пугаю? Да вот стараюсь вроде ничего такого не писать, а само выходит.

[vpb]

(Бессмертное)

Да вот, хотим, как лучше, а получается, как всегда... У Вас там, наверное, клавиатура так заточена, что сама собой про большие ординалы выдает.

[bot]

vpb в сообщении #1313686 писал(а):

Сдается мне, если в исходном кольце не выполнено тождество $x+x=0$, то ограничиваться присоединением ${\mathbb Z}_2$ недостаточно.

Угу, беру свои слова взад.

[lek]

wooddii в сообщении #1313651 писал(а):

Расширенное множество $-$ это $\left\lbrace (a,k) \right\rvert\ a \in R, k \in \mathbb{Z}\rbrace$
Нулевой элемент - $(0_R,0_{\mathbb{Z}})$.
Единичный элемент - $(0_R,1)$.
Сложение: $(a_1,k_1)+(a_2,k_2)=(a_1+a_2,k_1+k_2)$.
Умножение: $(a_1,k_1)\cdot (a_2,k_2) = (a_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot k_2 + k_1 \cdot a_2 ,k_1 \cdot k_2)$.
Верно?

Да, если считать $\left (a,k) \right$ элементом прямой суммы двух $\mathbb{Z}$-модулей $R\oplus\mathbb{Z}\cdot 1$ .