Остаётся разобраться с природой элементов

и

.
Может быть, стоит рассмотреть декартово произведение

?
Вы слишком мудрите. Почему бы не считать, как учили в 1 классе, что

- это

, сложенное с самим собой

раз?
Это ежели

. А если

...?
Складывать слева, складывать справа - а не всё ли равно? Ещё там разные нолики у нас ещё имеются - нолик был, ещё нолик появляется, так как он есть в

, а ещё ежели мы их сложим ... , что с ними делать-то?
Если короче, то на расширенном множестве (а формально оно пока ещё не описано) надо ввести сложение и умножение, так чтобы на прежнем множестве эти операции сохранились.