Изоморфизм колец

[bot]

wooddii в сообщении #1313614 писал(а):

новое кольцо будет выглядеть как $a+b$, где $a,b$ принадлежат исходному кольцу

Получите хотя бы единицу, если $a,b$ принадлежат исходному кольцу.

[wooddii]

bot в сообщении #1313621 писал(а):

wooddii в сообщении #1313614 писал(а):

новое кольцо будет выглядеть как $a+b$, где $a,b$ принадлежат исходному кольцу

Получите хотя бы единицу, если $a,b$ принадлежат исходному кольцу.

Ну да, бред написал, если $a, b$ принадлежат исходному кольцу, то и их сумма уже там есть(

[bot]

Уже много раз подсказывали, повторюсь. Вот единицу Вы добавили, начинаем её для начала складывать ... , с чем? А хотя бы и с ней самой - для начала ...

[wooddii]

bot в сообщении #1313623 писал(а):

Уже много раз подсказывали, повторюсь. Вот единицу Вы добавили, начинаем её для начала складывать ... , с чем? А хотя бы и с ней самой - для начала ...

Получается, нужно присоединить все элементы вида $a+k \cdot e$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Складываем стандартным образом, а для умножения должно выполняться условие, описанное несколько сообщений назад.

[bot]

По сложению замкнули, но в кольце есть ещё умножение ...
-- Вс май 20, 2018 15:40:24 --

wooddii в сообщении #1313626 писал(а):

а для умножения должно выполняться условие

Плевать на условие, по умножению замкнулось?

[wooddii]

bot в сообщении #1313628 писал(а):

По сложению замкнули, но в кольце есть ещё умножение ...
-- Вс май 20, 2018 15:40:24 --

wooddii в сообщении #1313626 писал(а):

а для умножения должно выполняться условие

Плевать на условие, по умножению замкнулось?

Нет

[bot]

Вы это просто так сказали или проверили? Кстати, как Вы перемножаете элементы вида $a+k$ и $b+s$? Здесь $a, b$ элементы исходного кольца, а $k,s\in\mathbb Z$, если что.

[wooddii]

bot в сообщении #1313634 писал(а):

Вы это просто так сказали или проверили? Кстати, как Вы перемножаете элементы вида $a+k$ и $b+s$? Здесь $a, b$ элементы исходного кольца, а $k,s\in\mathbb Z$, если что.

$(a+k) \cdot (b+s) = a\cdot b+ a \cdot s + k \cdot b + k \cdot s$
Тут $a \cdot b$ - элемент исходного кольца. $k \cdot s$ - добавленный нами элемент $0+m$, $m: k \cdot s = m$.
Остаётся разобраться с природой элементов $k \cdot b$ и $a \cdot s$.

-- 20.05.2018, 14:20 --

wooddii в сообщении #1313637 писал(а):

bot в сообщении #1313634 писал(а):

Вы это просто так сказали или проверили? Кстати, как Вы перемножаете элементы вида $a+k$ и $b+s$? Здесь $a, b$ элементы исходного кольца, а $k,s\in\mathbb Z$, если что.

$(a+k) \cdot (b+s) = a\cdot b+ a \cdot s + k \cdot b + k \cdot s$
Тут $a \cdot b$ - элемент исходного кольца. $k \cdot s$ - добавленный нами элемент $0+m$, $m: k \cdot s = m$.
Остаётся разобраться с природой элементов $k \cdot b$ и $a \cdot s$.

Может быть, стоит рассмотреть декартово произведение $R\times \mathbb{Z}$?
Сложение будет определено, очевидно, как $(a,k)+(b,s) = (a+b,k+s)$.
А умножение...

-- 20.05.2018, 14:22 --

А умножение тогда как $(a,k) \cdot (b,s) = (a\cdot b + a \cdot s + k \cdot b, k \cdot s)$

-- 20.05.2018, 14:23 --

Остаётся проверить свойства кольца.
Единичным будет элемент $(0,1)$

-- 20.05.2018, 14:24 --

Изоморфизм будет задан тогда как $ x \to (x,0)$.

Или снова все не так?(

[Someone]

А как Вы интерпретируете умножение элемента кольца на целое число? В исходном кольце ведь такой "операции" нет.

[wooddii]

Someone в сообщении #1313643 писал(а):

А как Вы интерпретируете умножение элемента кольца на целое число? В исходном кольце ведь такой "операции" нет.

Как сложение элемента с самим собой целое число раз.
$x \in R, s \in \mathbb{Z}, то x \cdot s = \underbrace{x + ... + x}_{ s}$

[bot]

wooddii в сообщении #1313637 писал(а):

Остаётся разобраться с природой элементов $k \cdot b$ и $a \cdot s$.

wooddii в сообщении #1313637 писал(а):

Может быть, стоит рассмотреть декартово произведение $R\times \mathbb{Z}$?

Вы слишком мудрите. Почему бы не считать, как учили в 1 классе, что $k \cdot b$ - это $b$, сложенное с самим собой $k$ раз?
Это ежели $k>0$. А если $k<0$ ...?
Складывать слева, складывать справа - а не всё ли равно? Ещё там разные нолики у нас ещё имеются - нолик был, ещё нолик появляется, так как он есть в $\mathbb Z$, а ещё ежели мы их сложим ... , что с ними делать-то?

Если короче, то на расширенном множестве (а формально оно пока ещё не описано) надо ввести сложение и умножение, так чтобы на прежнем множестве эти операции сохранились.

[wooddii]

bot в сообщении #1313646 писал(а):

wooddii в сообщении #1313637 писал(а):

Остаётся разобраться с природой элементов $k \cdot b$ и $a \cdot s$.

wooddii в сообщении #1313637 писал(а):

Может быть, стоит рассмотреть декартово произведение $R\times \mathbb{Z}$?

Вы слишком мудрите. Почему бы не считать, как учили в 1 классе, что $k \cdot b$ - это $b$, сложенное с самим собой $k$ раз?
Это ежели $k>0$. А если $k<0$ ...?
Складывать слева, складывать справа - а не всё ли равно? Ещё там разные нолики у нас ещё имеются - нолик был, ещё нолик появляется, так как он есть в $\mathbb Z$, а ещё ежели мы их сложим ... , что с ними делать-то?

Если короче, то на расширенном множестве (а формально оно пока ещё не описано) надо ввести сложение и умножение, так чтобы на прежнем множестве эти операции сохранились.

Да, выше уже описал, как интерпретирую умножение на целое число.
Расширенное множество $-$ это $\left\lbrace (a,k) \right\rvert\ a \in R, k \in \mathbb{Z}\rbrace$
Нулевой элемент - $(0_R,0_{\mathbb{Z}})$.
Единичный элемент - $(0_R,1)$.
Сложение: $(a_1,k_1)+(a_2,k_2)=(a_1+a_2,k_1+k_2)$.
Умножение: $(a_1,k_1)\cdot (a_2,k_2) = (a_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot k_2 + k_1 \cdot a_2 ,k_1 \cdot k_2)$.

Верно?

[bot]

В общем да. Остались вопросы:
Как интерпретировать умножение на $k$ с разных сторон?
Как умножить отрицательный $k$ на элемент исходного кольца?

Ну ещё пожелание, а то уйду.
Вы присоединили единицу кольца $\mathbb Z$, а она затащила целиком всё кольцо $\mathbb Z$ и не только.
А нет ли кольца с единицей, поменьше чем $\mathbb Z$?

[wooddii]

bot в сообщении #1313652 писал(а):

В общем да. Остались вопросы:
Как интерпретировать умножение на $k$ с разных сторон?
Как умножить отрицательный $k$ на элемент исходного кольца?

Ну ещё пожелание, а то уйду.
Вы присоединили единицу кольца $\mathbb Z$, а она затащила целиком всё кольцо $\mathbb Z$ и не только.
А нет ли кольца с единицей, поменьше чем $\mathbb Z$?

Умножение с разных сторон, видимо, нужно интерпретировать по-одинаковому.
Сложить с самим собой целое число раз и взять обратный по сложению элемент.
Кольцо вычетов по модулю два.

[bot]

wooddii в сообщении #1313657 писал(а):

Кольцо вычетов по модулю два.

Ну вот, а ежели его взять вместо $\mathbb Z$? Хлопот меньше будет, нет?