2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 13:38 


26/05/17
24
Хотелось бы пофантазировать на следующую тему.

Задаем аналитически функцию: $\exp(\sin(\omega t))$, смотрим не нее и думаем, какой физический процесс она могла бы отражать.

Это периодическая функция, похожая на синус, но с острыми максимумами и тупыми минимумами. Видел такой график в какой-то статье, а в какой - давно забыл. А сейчас построил компьютерную модель одного хитрого процесса и опять получил то же самое; только не пойму, откуда там может взяться экспонента. Вот и думаю, как подобраться к анализу процесса.

Кто-нибудь сталкивался с чем-то подобным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 14:07 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
igorlavrov в сообщении #1312870 писал(а):
смотрим не нее и думаем, какой физический процесс она могла бы отражать
...
А сейчас построил компьютерную модель одного хитрого процесса и опять получил то же самое

Может откроете карты, какой процесс моделировали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 14:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
igorlavrov в сообщении #1312870 писал(а):
только не пойму, откуда там может взяться экспонента
А зачем сразу экспонента? Многие периодические функции могут иметь острые максимумы и тупые минимумы, не обязательно должна быть связь с экспонентой синуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 14:46 


20/04/10
1776
Эта функция является решением уравнения $f'(t)=\omega \cos{\omega t}f(t)$. Существует много вариантов придать этому уравнению смысл. Например такой: пусть численность колонии бактерий от времени есть функция $f(t)$, а скорость их размножения-отмирания пропорциональна численности колонии с модулирующим периодическим фактором равным $A\cos{\omega t}$, где $\omega$ циклическая частота, определяемая периодом процесса размножение-отмирание (например, он может быть равен одному году). Тогда решение $f(t)=f(0)\exp(A/\omega\sin{\omega t})$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.05.2018, 14:53 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Свободный полёт»
Причина переноса: дискуссионности не видно, физики (по крайней мере пока) - тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 15:46 


26/05/17
24
Walker_XXI в сообщении #1312878 писал(а):
Может откроете карты, какой процесс моделировали?


Полностью не открою, чтобы не ограничивать Вам полет фантазии.
Скажу только, что это броуновское движение в сосуде особой формы. Форма приводит к возникновению колебаний, то есть консистенция частичек в районе фиксированной точки то растет, то спадает.
Прелесть модели в том, что плавное изменение статистического параметра приводит к плавному изменению частоты колебаний.

-- 17.05.2018, 16:50 --

arseniiv в сообщении #1312883 писал(а):
А зачем сразу экспонента? Многие периодические функции могут иметь острые максимумы и тупые минимумы, не обязательно должна быть связь с экспонентой синуса.


Если приведете еще примеры периодических функций, скажу спасибо!
Экспонента мне нравится тем, что у нее минимумы - тупые, а максимумы - острые, как в моей модели.
Вообще, мне интересны все функции, у которых знак второй производной меняется через полпериода.

-- 17.05.2018, 16:59 --

lel0lel в сообщении #1312891 писал(а):
Эта функция является решением уравнения $f'(t)=\omega \cos{\omega t}f(t)$. Существует много вариантов придать этому уравнению смысл. Например такой: пусть численность колонии бактерий от времени есть функция $f(t)$, а скорость их размножения-отмирания пропорциональна численности колонии с модулирующим периодическим фактором равным $A\cos{\omega t}$, где $\omega$ циклическая частота, определяемая периодом процесса размножение-отмирание (например, он может быть равен одному году). Тогда решение $f(t)=f(0)\exp(A/\omega\sin{\omega t})$.


Спасибо большое за диффур и пример.
Хочу еще пример, и чтобы частота колебаний не была задана явно, а требовалось ее вычисление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 18:49 


23/08/10
205
Да, и кстати причем тут экспонента, я бы назвал это функцию странным синусом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 19:02 


26/05/17
24
ATI.HeNRy в сообщении #1312945 писал(а):
Да, и кстати причем тут экспонента, я бы назвал это функцию странным синусом.


Ага!

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 19:18 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
igorlavrov в сообщении #1312900 писал(а):
Экспонента мне нравится тем, что у нее минимумы - тупые, а максимумы - острые, как в моей модели.

igorlavrov в сообщении #1312900 писал(а):
Хочу еще пример, и чтобы частота колебаний не была задана явно, а требовалось ее вычисление

Решение нижеприведенного уравнения будет иметь такое свойство
$$y''-y+y^3 = 0, y(0)=0.0001, y'(0)=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 21:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
igorlavrov в сообщении #1312900 писал(а):
Если приведете еще примеры периодических функций, скажу спасибо!
Экспонента мне нравится тем, что у нее минимумы - тупые, а максимумы - острые, как в моей модели.
Вообще, мне интересны все функции, у которых знак второй производной меняется через полпериода.
Таких функций континуум, если только не брать определения тупости/остроты экстремума слишком узкими; найти достаточно общее семейство можно, поиграв с рядами Фурье или просто периодически продолжив какой-нибудь аккуратно выбранный кусок (а задать его можно каким-нибудь сплайном). Возможно, вы хотите, чтобы я привёл вам не функции, а выражения для них, и притом в некотором смысле короткие — если так, это неправильное желание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение17.05.2018, 21:29 


26/05/17
24
dsge в сообщении #1312955 писал(а):
Решение нижеприведенного уравнения будет иметь такое свойство
$$y''-y+y^3 = 0, y(0)=0.0001, y'(0)=0$$


Большое спасибо, завтра посмотрю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение18.05.2018, 12:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Изображение
Ритм в отведении C4-O2, роландический или $\mu$-ритм

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение18.05.2018, 13:44 


26/05/17
24
dsge в сообщении #1312955 писал(а):
Решение нижеприведенного уравнения будет иметь такое свойство
$$y''-y+y^3 = 0, y(0)=0.0001, y'(0)=0$$


А как оно решается (я сдаюсь)?

Или: а почему его решение будет обладать этим свойством?

-- 18.05.2018, 14:45 --

Евгений Машеров в сообщении #1313164 писал(а):
Ритм в отведении C4-O2, роландический или $\mu$-ритм


Спасибо, интересно, забираю себе в копилку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение18.05.2018, 14:19 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
Периодическая функция с острыми максимумами и тупыми минимумами:

$F(x)=\dfrac{1}{a+\cos(x-\pi/2)} $

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Странная экспонента
Сообщение18.05.2018, 14:31 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
igorlavrov в сообщении #1313175 писал(а):
А как оно решается (я сдаюсь)?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''-y%2By%5E3+%3D+0,+y(0)%3D0.0001,+y'(0)%3D0
wolfram "косячит", решение будет немного другим.
igorlavrov в сообщении #1313175 писал(а):
почему его решение будет обладать этим свойством?

Система является консервативной и имеет гомоклиническую сепаратрису в фазовом пространстве, поэтому если взять начальные условия в малой окрестности седловой точки и внутри сепаратрисы, то решение будет торчать большую часть времени в этой окрестности, потом быстро-быстро делать "круг" и потом возвращаться опять в окрестность. Все решения не на сепаратрисе будут периодическими (включая неподвижные точки).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group