Нетипичное задание по интегралам

[nortonouls]

Приветствую всех. На связи вновь первый курс, задание по матанализу. Итак:
Дан интеграл

$$\int x^p \left( \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt{x}} \right)^q dx $$

Подобрать $p$ и $q$ таким образом, чтобы получились два интегрируемых в элементарных функциях интеграла и один неинтегрируемый в элементарных функциях.

Вот тут возникают первые вопросы. Ну ладно для интегрируемых, там всё просто. Но как при помощи всего лишь степеней сделать его неинтегрируемым? Ведь насколько я помню, таких функций не так много и они все содержат там тригонометрические функции, экспоненту и т.д., а здесь ничего такого нет. Или как-то подставить в степень логарифм, чтобы всё обращалось сразу в нужную функцию? Нагло как-то...
Первые два посчитать, для третьего обозначить через $F(x)$ первообразную с условием $F(1)=0$. Для $F(x)$ найти асимптотику на $+\infty$ и в $0$ .
Ну, с этим буду уже разбираться, когда пойму, как сделать неинтегрируемый.
И наконец то, где я вообще не понимаю, что хотят в задании, и очень прошу объяснить для начала хотя бы это:
Найдите функции $g_l (t) \ (l=1,2,3)$ такие, что:

$$g_1(t) \sim \int \limits_t^1 x^p\left(f(x)\right)^q dx \ \text{при} \ t \to 0, \ \text{если} \int \limits_0 x^p\left(f(x)\right)^q dx \ \text{расходится};$$

$$g_2(t) \sim \int \limits_1^t x^p\left(f(x)\right)^q dx \ \text{при} \ t \to \infty, \ \text{если} \int \limits^{\infty} x^p\left(f(x)\right)^q dx \ \text{расходится};$$

$$g_3(t) \sim \int \limits_t^{\infty} x^p\left(f(x)\right)^q dx \ \text{при} \ t \to \infty, \ \text{если} \int \limits^{\infty} x^p\left(f(x)\right)^q dx \ \text{сходится}.$$

И вот тут я перестал вообще хоть что-то в принципе понимать. Что за странные эквивалентности? Причём здесь переменные пределы? Почему у интегралов справа предел только один написан? Ну и можно, пожалуйста, хоть небольшую подсказку, что с этим делать? Спасибо заранее. Я бы с радостью привёл хоть какие-то попытки решения, но для начала я даже просто банально не понимаю, чего от меня хотят.

[AV_77]

Интегрирование биномиальных дифференциалов

[nortonouls]

AV_77 в сообщении #1308455 писал(а):

Интегрирование биномиальных дифференциалов

Спасибо, это я понял. Значит, надо просто сделать так, чтобы ни в один случай подстановок Чебышева не попадало

[AV_77]

Да. Это все случаи, когда интегрирование возможно.

[nortonouls]

AV_77 в сообщении #1308458 писал(а):

Да. Это все случаи, когда интегрирование возможно.

Скоро займусь этим. Если нетрудно, подскажите кто-нибудь, что вообще хотят во втором случае, там, где эквивалентности, пожалуйста

[DeBill]

nortonouls
А кто такая $f$ ? Или это $F$?
Короче, надо ее знать, чтоб получать что-то разумное.
Про несобственные интегралы: для сходимости-расходимости (на бесконечности, например) нет нужды указывать нижний предел: это не влияет на . (хотя, кнешно, не сильно традиционные обозначения).
Про переменные пределы: аяяяй. Ведь была же у Вас уже отдельная темка "интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и производная". НезачОт, однако.
Чтобы освоиться, и не пугаться лишний раз: возьмите $f=1$, да и посчитайте (для разных $p$) те интегралы - явно и точно....

[alcoholist]

nortonouls в сообщении #1308453 писал(а):

Почему у интегралов справа предел только один написан?

Имеется ввиду, что второй предел -- любой (чтобы особенность интеграла была только на одном конце интервала интегрирования)

[nortonouls]

DeBill в сообщении #1308473 писал(а):

nortonouls
А кто такая $f$ ? Или это $F$?

Каюсь. Само задание звучало как "$\int f(x)dx$ из задачи 13 заменить на $\int x^p \left(f(x)\right)^q dx$"
Ну то есть, $\int x^p \left(f(x)\right)^q dx$ - это и есть самое первое выражение, которое я написал сразу после "дан интеграл"

[alcoholist]

Давайте $g_1$ найдем.
При $x\to 0$ имеем эквивалентность

$$x^p \left( \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt{x}} \right)^q\sim x^{p-\frac{3q}{2}}$$

.
При каком соотношении на $p$ и $q$ интеграл расходится в нуле?

[nortonouls]

alcoholist в сообщении #1308540 писал(а):

Давайте $g_1$ найдем.
При $x\to 0$ имеем эквивалентность

$$x^p \left( \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt{x}} \right)^q\sim x^{p-\frac{3q}{2}}$$

.
При каком соотношении на $p$ и $q$ интеграл расходится в нуле?

Ну, хм, нужно, чтобы получилась отрицательная степень? Тогда $2p<3q. Так?

[alcoholist]

nortonouls в сообщении #1308728 писал(а):

чтобы получилась отрицательная степень?

Разве интеграл от $x^{-1/2}$ в нуле расходится?

[nortonouls]

alcoholist в сообщении #1308765 писал(а):

nortonouls в сообщении #1308728 писал(а):

чтобы получилась отрицательная степень?

Разве интеграл от $x^{-1/2}$ в нуле расходится?

Да, точно. Там будет $p-\frac{3q}{2}\leq-1 \Rightarrow 2p \leq 3q-2$?

[alcoholist]

ну и выделите теперь главную часть $g_1(t)$ при $t\to 0$, то есть первый член разложения

$$ g_1(t)=a(t)+c+o(1). $$

[nortonouls]

alcoholist в сообщении #1309300 писал(а):

ну и выделите теперь главную часть $g_1(t)$ при $t\to 0$, то есть первый член разложения

$$ g_1(t)=a(t)+c+o(1). $$

В смысле? Не очень понял. Раскладывать нужно $x^{p-3q/2}$?

[alcoholist]

nortonouls в сообщении #1309981 писал(а):

Не очень понял.

А понимаете, что такое $f(t)\sim g(t)$, $t\to 0$?

-- Пт май 04, 2018 15:41:07 --

nortonouls в сообщении #1309981 писал(а):

Раскладывать нужно $x^{p-3q/2}$?

раскладывать $g_1(t)$... даже написал как