Найти неопределённый интеграл.

[Someone]

megatumoxa в сообщении #1306841 писал(а):

Нужно раскрыть абсолютно все скобки дроби?

Только в числителе. А знаменатель нужно, наоборот, максимально разложить на множители, поскольку именно это разложение определяет вид дробей, которые потом придётся интегрировать.

megatumoxa в сообщении #1306836 писал(а):

можно ещё первую скобку разложить на две, но они будут с корнями

Иррациональные корни? Ну пусть будут. Если формально следовать методу, то разложить нужно.

Да, и опечатки там есть. По меньшей мере одна.

[megatumoxa]

Someone в сообщении #1306878 писал(а):

Да, и опечатки там есть. По меньшей мере одна.

Можно узнать какая именно?

[Someone]

А там у Вас в знаменателе написано $4t^2-16-5$. Вычисления я, естественно, не проверял, просто это выражение выглядит подозрительно.

[megatumoxa]

Someone в сообщении #1306884 писал(а):

А там у Вас в знаменателе написано $4t^2-16-5$. Вычисления я, естественно, не проверял, просто это выражение выглядит подозрительно.

Действительно, $t$ потерял.

-- 24.04.2018, 13:21 --

$$I=\frac{1}{128}\int\frac{t^3\cdot(16t+1)^3\cdot(16(16t+1)^2+8(16t+1)(t^2-1)+(t^2-1))\cdot(8t^2+t+8)}{(t-2-\sqrt{5.25})\cdot(t-2+\sqrt{5.25})\cdot(t+16)\cdot(t^2-1)^5}dt$$

-- 24.04.2018, 13:32 --

$I=\frac{1}{128}\int\frac{4194304t^{11}+ 135823360t^{10}+ 58959872t^9+ 144196736t^8+ 38597240t^7+ 4199689t^6+ 224080t^5+ 5767t^4+ 56t^3}{(t-2-\sqrt{5.25})\cdot(t-2+\sqrt{5.25})\cdot(t+16)\cdot(t^2-1)^5}dt$

Так и должно быть (если не брать в расчёт, что я мог что-то неправильно посчитать на предыдущих этапах)?

[kotenok gav]

Someone, это для метода неопределенных коэффициентов не надо раскрывать скобки в знаменателе, а для метода Остроградского - надо.

[megatumoxa]

$I=\frac{1}{128}\int\frac{4194304t^{11}[phone]t^{10}[phone]t^9+144196736t^8+38597240t^7+ 4199689t^6+224080t^5+5767t^4+ 56t^3}{4t^{13}+64t^{12}-41t^{11}-656t^{10}+145t^9+2320t^8-250t^7-4000t^6+230t^5+3680t^4-109t^3-1744t^2+21t+336}dt$

-- 24.04.2018, 14:36 --

И как такое чудо рассчитывать?

[Someone]

kotenok gav в сообщении #1306893 писал(а):

для метода Остроградского - надо

Да-а-а??? А я 40 лет пользовался и не подозревал об этом. В процессе вычислений с дробями частично скобки раскрывать приходится, но ни в коем случае не в полном знаменателе. Собственно, метод Остроградского отличается от метода неопределённых коэффициентов только тем, что сразу выделена рациональная часть интеграла, что позволяет избавиться от интегрирования дробей со знаменателями-степенями.

-- Вт апр 24, 2018 13:44:46 --

megatumoxa в сообщении #1306901 писал(а):

И как такое чудо рассчитывать?

Я же сказал: в знаменателе не надо скобки раскрывать. Только в числителе. А потом запускаете метод Остроградского. Чтобы его применить, нужно, чтобы знаменатель был разложен на множители.

[kotenok gav]

А как тогда НОД числителя и знаменателя считать?

[megatumoxa]

megatumoxa в сообщении #1306901 писал(а):

$I=\frac{1}{128}\int\frac{4194304t^{11}[phone]t^{10}[phone]t^9+144196736t^8+38597240t^7+ 4199689t^6+224080t^5+5767t^4+ 56t^3}{4t^{13}+64t^{12}-41t^{11}-656t^{10}+145t^9+2320t^8-250t^7-4000t^6+230t^5+3680t^4-109t^3-1744t^2+21t+336}dt$

$I=\int\frac{8192t^{11}+265280t^{10}+115156t^9+281634.25t^8+75385.234375t^7+ 8202.517578125t^6+437.65625t^5+11.263671875t^4+ 0.109375t^3}{t^{13}+16t^{12}-10.25t^{11}-164t^{10}+36.25t^9+580t^8-62.5t^7-1000t^6+57.5t^5+920t^4-27.25t^3-436t^2+5.25t+84}dt$

Так раскрывать или нет? Просто раскрытие скобок в знаменателе как-то еще больше все усложнило.

[Someone]

kotenok gav в сообщении #1306903 писал(а):

А как тогда НОД числителя и знаменателя считать?

Ну, знаменатель же у нас на множители разложен. Попробуйте разделить числитель на эти множители. Более того, числитель у нас частично тоже разложен, так что делить можно не весь числитель, а только эти множители.

[DeBill]

Знаменатель имеет 13-ю степень, числитель -11-ю, так что дробь - правильная, так что скобки можно и не открывать. Применим метод Остроградского, и будем искать ответ в виде суммы всяких штук с неопределенными коэф-тами. Если скобки все таки открыть, получим систему из 13 уравнений с 13 неизвестными.
Но можно чуть не так: можно подставлять в полученное тождество корни знаменателя. Если бы они все были различныЮ коэф-ты сразу бы и нашлись.. Но у вас корни "плюс-минус один" - пятикратные. Так что надо будет еще делать вот что: продифференцировать тождество, и подставить снова (кратные) корни - и так еще три раза...

[megatumoxa]

И как это записать по методу Остроградского? Мы не решали ничего сложнее, чем интеграл со знаменателем в виде одного квадратного уравнение в квадрате.
Так что вот мой пробный вариант:

$\int\frac{P(t)}{Q(t)}dt=\frac{Kt^8+Lt^7+Mt^6+Nt^5+Ot^4+Pt^3+Qt^2+Rt+S}{(t^2-1)^4}+\int\frac{At+B}{(t-2-\sqrt{5.25})}+\int\frac{Ct+D}{(t-2+\sqrt{5.25})}+\int\frac{Et+F}{(t+16)}+\int\frac{Gt+H}{(t^2-1)}$

[kotenok gav]

megatumoxa в сообщении #1306909 писал(а):

И как это записать по методу Остроградского?

https://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%98%D0 ... %B8%D0%B9#Метод_Остроградского

[Someone]

Во-первых, рациональная часть интеграла написана неправильно.
Во-вторых, подынтегральные дроби написаны неправильно. Вы знаете, каких видов бывают простейшие дроби?
В-третьих, во всех интегралах пропущен $dt$.
В-четвёртых, знаменатель разложен не до конца. (В принципе, это не страшно, но лучше разложить.)

[megatumoxa]

kotenok gav в сообщении #1306911 писал(а):

https://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%98%D0 ... %B8%D0%B9# Метод_Остроградского

Уже читал. И на парах уже решали, но намного легче интегралы были.

Someone в сообщении #1306912 писал(а):

Во-вторых, подынтегральные дроби написаны неправильно. Вы знаете, каких видов бывают простейшие дроби?
В-третьих, во всех интегралах пропущен $dt$.
В-четвёртых, знаменатель разложен не до конца. (В принципе, это не страшно, но лучше разложить.)

Подправил:
$\int\frac{P(t)}{Q(t)}dt=\frac{Kt^8+Lt^7+Mt^6+Nt^5+Ot^4+Pt^3+Qt^2+Rt+S}{(t-1)^4(t+1)^4}+\int\frac{At+B}{(t-2-\sqrt{5.25})}dt+\int\frac{Ct+D}{(t-2+\sqrt{5.25})}dt+\int\frac{Et+F}{(t+16)}dt+\int\frac{Gt+H}{(t-1)}dt+\int\frac{Ut+V}{(t+1)}dt$

Или каждый интеграл разложить ещё на сумму более простых?

Someone в сообщении #1306912 писал(а):

Во-первых, рациональная часть интеграла написана неправильно.

А вот тут не знаю. Многочлен в числителе неправильно записан?