Немножко философии о вещественных числах

[Paul Ivanov]

Добрый день. Все мы в школе, на школьных олимпиадах и тому подобное сталкивались с тем, что когда в задаче требовалось доказать существование того или иного объекта (структуры) допускался единственный способ разрешения такой задачи - предъявить данный объект (структуру), однако всё больше проникая в ту часть математики, что лежит вне её наивной части, можно было обнаружить такие доказательства существования, которые вообще не подразумевали какой-либо детализации объекта. Так, например, на основе ZFC показывается, что существует способ вполне упорядочить множество вещественных чисел, однако никто до сих пор данного способа так и не предъявил. Или высказывалось утверждение такого формата " Мы не можем себе представить как..., но знаем, что это возможно".
Я задумался над проблемой вполне упорядочивания одних только вещественных чисел и пришёл к следующим скорее философским, чем математическим идеям. Мне кажется, что быть способным явно представить порядок вполне упорядочивания фиксированного множества равносильно тому, чтобы быть способным явно указать на минимальный элемент в любом подмножестве данного множества, согласно выбранному порядку. Если мы конкретизируем (явно представим) способ вполне упорядочить вещественные числа, то вместе с этим способом обретём возможность детально изучить (под словом изучить здесь подразумевается способность описать какое-то конкретное универсальное свойство, отличающее данное вещественное число от всех остальных вещественных чисел, например, универсальное свойство числа sqrt(2) полностью исчерпывается тем, что это число является единственным положительным корнем уравнения x$\wedge2$=2) любое вещественное число за некоторое конечное время (возможно это время будет исчисляться миллионами лет и гораздо больше, но тем не менее останется конечным, акцент на конечности времени ставлю потому, что за бесконечное время можно и без упорядочивания изучить любое вещественное число просто изучив каждую его цифру в десятичной записи).
Допустим, что в последнем предложении я ошибаюсь. Тогда можно разделить множество вещественных чисел на два непересекающихся подмножества:1. те вещественные числа, которые можно изучить за конечное время и 2. те, которые нельзя. Но тогда мы можем рассмотреть второе подмножество и найти в нём минимальный элемент, универсальным свойством которого и будет тот факт, что он является минимальным во втором подмножестве (которое описывается как разность множества всех вещественных чисел и первого множества). Противоречие. Следовательно, действительно приходим к тому, что если мы можем представить порядок вполне упорядочивания вещественных чисел, то мы можем также за конечное время приписать любому вещественному числу некое универсальное свойство. Отсюда вытекает следующее: если вообще существуют такие вещественные числа, универсальные свойства которых нельзя описать за конечное время (вообще универсальными свойствами обладает любое вещественное число, потому что, например, ему и только ему соответствует одно единственное сечение рациональными числами), то получается, что мы никогда не сможем представить порядок вполне упорядочивания вещественных чисел.
Интуиция, опираясь на тот факт, что мы до сих пор описали универсальные свойства всего лишь небольшого счётного подмножества множества вещественных чисел мощности континуума, подсказывает мне, что такие числа составляют бесконечно большую часть множества вещественных чисел. Причём как бы мы не изощрялись и не придумывали самые различные математические инструменты (такие как обычные бинарные, унарные функции, пределы, производные, интегралы) в своих познаниях вещественных чисел мы никогда не выйдем за предел счётного подмножества множества вещественных чисел, которые можно изучить.
Предлагаю тем из вас, кто согласен с общей цепью моих рассуждений, предложить, как формализовать всё то, что я написал, а также попробовать доказать, что существуют вещественные числа, универсальные свойства которых мы никогда не сможем представить за конечное время. Всех тех, кто со мной не согласен хоть в чём-то призываю критиковать меня, чтобы я как можно лучше отточил свои мысли, если это вообще возможно и если я вообще прав.

[arseniiv]

Ну, честно, вы могли редактировать то первое сообщение и ещё вставить какие-то пустые строки, чтобы читалось ещё лучше. Ладно, кое-кто всё-таки уже продрался и через первый вариант. Но сначала отступление:

Paul Ivanov в сообщении #1306766 писал(а):

Или высказывалось утверждение такого формата " Мы не можем себе представить как..., но знаем, что это возможно".

Не забывайте, что есть разные теории множеств. Когда мы принимаем аксиому выбора, мы вынуждены признать и то, что любое множество можно вполне упорядочить, и что никакого конкретного способа это сделать для произвольного множества мы при этом всё-таки не получаем. Нам не обязательно вообще этим фактом пользоваться, но если захотеть, чтобы его не было, будет неудобнее жить: например, не любые две мощности будут сравнимы.

В той же ZF(C) стандартное определение натуральных чисел и кортежей влечёт соотношения типа $4\in5, \{2,3\}\subset7, 0=\varnothing, (0,1)\subset 5$. Это не значит, что мы обязаны на них пристально смотреть и что-то понимать — это артефакт представления, совершенно не требуемый в обычной работе. О вполне упорядочиваемости можно думать так же — скорее всего, она вам просто никак не нужна.

Paul Ivanov в сообщении #1306766 писал(а):

Предлагаю тем из вас, кто согласен с общей цепью моих рассуждений, предложить, как формализовать всё то, что я написал, а также попробовать доказать, что существуют вещественные числа, универсальные свойства которых мы никогда не сможем представить за конечное время.

Это давно формализовано. Всевозможные подмножества вещественных чисел, обладающих тем или иным хорошим с точки зрения вычислимости или определимости свойством, счётные. И вообще когда у вас есть язык с конечным числом символов для неких примитивных констант, функций и отношений, вы с его помощью (довольно очевидно) сможете выразить только счётное число констант, функций и отношений, как бы его и на каком бы множестве-носителе ни интерпретировали.

[Someone]

(Оффтоп)

Paul Ivanov в сообщении #1306768 писал(а):

sqrt(2)

Paul Ivanov в сообщении #1306768 писал(а):

x$\wedge2$=2

А что, две формулы по-человечески записать было лень? Всего-то $\sqrt{2}$ и $x^2=2$. Если уж Вы сумели найти, как записать $\wedge$, который Вам совершенно был не нужен, то остальное тоже можно было бы найти, а минут за 15 научиться писать всякие дроби, корни, степени, индексы, интегралы, скобки разного размера…

[epros]

arseniiv в сообщении #1306769 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1306766 писал(а):

Предлагаю тем из вас, кто согласен с общей цепью моих рассуждений, предложить, как формализовать всё то, что я написал, а также попробовать доказать, что существуют вещественные числа, универсальные свойства которых мы никогда не сможем представить за конечное время.

Это давно формализовано. Всевозможные подмножества вещественных чисел, обладающих тем или иным хорошим с точки зрения вычислимости или определимости свойством, счётные. И вообще когда у вас есть язык с конечным числом символов для неких примитивных констант, функций и отношений, вы с его помощью (довольно очевидно) сможете выразить только счётное число констант, функций и отношений, как бы его и на каком бы множестве-носителе ни интерпретировали.

Добавлю к этому, что слова про "детальное изучение действительного числа" и "описание его универсального свойства" можно легко формализовать как построение формулы $\varphi$ с одной свободной переменной $x$, для которой $\exists! x~\varphi$. Поскольку таковых формул счётное количество, а в силу аксиоматики всех действительных чисел - более чем счётное количество, очевидно, что действительных чисел, которые нельзя "детально изучить", более чем счётное количество. Так что выводы эти, в общем-то, тривиальны.

[Andrey A]

Paul Ivanov в сообщении #1306768 писал(а):

... быть способным явно представить порядок вполне упорядочивания фиксированного множества равносильно тому, чтобы быть способным явно указать на минимальный элемент в любом подмножестве данного множества

Почему минимальный, а не максимальный? Числовая ось, например, бесконечна в обе стороны. Если же брать по абсолютной величине, то минимальный элемент бесспорно $0$, и вот мы упорядочили неотрицательные числа :) Если же под словом "упорядочить" имеется в виду возможность сравнить два отличных друг от друга элемента на предмет больше/меньше, то это возможно за конечное время, и опять всё хорошо. Но вот величины $\sqrt{44}+\sqrt{275}$ и $\sqrt{99}+\sqrt{176}$ не удается сравнить за конечное время, поскольку они равны, а как "упорядочить" арифметические суммы целых радикалов, не прибегая к десятичным разложениям, - мне не известно. Всё-таки математика без конкретных приложений - довольно сухая штука.

[mihaild]

Andrey A в сообщении #1306811 писал(а):

Почему минимальный, а не максимальный?

Потому что это определение вполне упорядоченного множества: любое непустое подмножество содержит наименьший элемент.

Относительно стандартного порядка $\mathbb{R}$ не является вполне упорядоченным множеством, т.к. например его непустое подмножество $\mathbb{R}$ не содержит наименьшего элемента.

[Andrey A]

Ага. Ну, пусть это будет неудачная шутка.

[Paul Ivanov]

Paul Ivanov в сообщении #1306766 писал(а):

Или высказывалось утверждение такого формата " Мы не можем себе представить как..., но знаем, что это возможно".

Не забывайте, что есть разные теории множеств. Когда мы принимаем аксиому выбора, мы вынуждены признать и то, что любое множество можно вполне упорядочить, и что никакого конкретного способа это сделать для произвольного множества мы при этом всё-таки не получаем. Нам не обязательно вообще этим фактом пользоваться, но если захотеть, чтобы его не было, будет неудобнее жить: например, не любые две мощности будут сравнимы.

В той же ZF(C) стандартное определение натуральных чисел и кортежей влечёт соотношения типа $4\in5, \{2,3\}\subset7, 0=\varnothing, (0,1)\subset 5$. Это не значит, что мы обязаны на них пристально смотреть и что-то понимать — это артефакт представления, совершенно не требуемый в обычной работе. О вполне упорядочиваемости можно думать так же — скорее всего, она вам просто никак не нужна.

на этот счёт я полагаю, что чем мощнее конструкция (а мощность конструкции определяется тем, насколько много проблем она охватывает и решает), тем больше смысла в том, чтобы как можно лучше изучить её, расширить и улучшить. Лично я никогда не пытался оправдывать желание отказаться "пристально смотреть и понимать" какую-то конструкцию только потому, что, эта конструкция, как кажется на первый взгляд, нужна "просто" для доказательства других более привлекательных для пристального рассмотрения конструкций

Paul Ivanov в сообщении #1306766 писал(а):

Предлагаю тем из вас, кто согласен с общей цепью моих рассуждений, предложить, как формализовать всё то, что я написал, а также попробовать доказать, что существуют вещественные числа, универсальные свойства которых мы никогда не сможем представить за конечное время.

Это давно формализовано. Всевозможные подмножества вещественных чисел, обладающих тем или иным хорошим с точки зрения вычислимости или определимости свойством, счётные. И вообще когда у вас есть язык с конечным числом символов для неких примитивных констант, функций и отношений, вы с его помощью (довольно очевидно) сможете выразить только счётное число констант, функций и отношений, как бы его и на каком бы множестве-носителе ни интерпретировали.[/quote]

1. то, что "Всевозможные подмножества вещественных чисел, обладающих тем или иным хорошим с точки зрения вычислимости или определимости свойством, счётные" вовсе не обозначает, что существуют числа, которые никогда не войдут в эти счётные подмножества. Это верно как минимум потому, что понятие хорошего с точки зрения вычислимости свойства относительно и какие бы определения хорошего с точки зрения вычислимости свойства мы не давали, всегда найдутся числа, выходящие за рамки данного свойства, которые мы тем не менее можем изучить приписав им универсальные свойства и поэтому мы не можем знать, вдруг существует такое определение хорошего свойства, которое позволит описать все вещественные числа.
2. Я безусловно согласен, что при нашей жизни мы никогда не выйдем за рамки данного счётного подмножества именно из-за того, что как вы выразились: "когда у вас есть язык с конечным числом символов для неких примитивных констант, функций и отношений, вы с его помощью (довольно очевидно) сможете выразить только счётное число констант, функций и отношений, как бы его и на каком бы множестве-носителе ни интерпретировали.". Но возникает следующий логичный вопрос. Что если существует бесконечно много различных вариантов развития математики и причём кол-во этих вариантов совпадает по мощности с мощностью континуума? Ведь тогда теоретически возможно, что для любого вещественного числа найдётся такой сценарий развития математики, по которому мы всё же припишем данному числу некое универсальное свойство. Я же хотел понять, как можно указать, что даже в таком бесконечном множестве сценариев развития математики мощности континуума, останутся числа, которым мы всё равно не сможем приписать конечные универсальные свойства. В таком случае то, что язык математики позволяет описывать только счётные множества чисел, вовсе не мешает

[arseniiv]

Paul Ivanov в сообщении #1307019 писал(а):

на этот счёт я полагаю, что чем мощнее конструкция (а мощность конструкции определяется тем, насколько много проблем она охватывает и решает), тем больше смысла в том, чтобы как можно лучше изучить её, расширить и улучшить. Лично я никогда не пытался оправдывать желание отказаться "пристально смотреть и понимать" какую-то конструкцию только потому, что, эта конструкция, как кажется на первый взгляд, нужна "просто" для доказательства других более привлекательных для пристального рассмотрения конструкций

Надо понимать, что основания математики — это просто какая-то конструкция, которая (предположительно) позволяет выразить всё, что может понадобиться математику и при этом не выразить ненароком что-то, что считается абсурдом. Кроме этого у оснований никакой другой философской нагрузки нет. Потому если из удобного предположения (типа аксиомы выбора) следует больше, чем надо, если мы что-то и должны делать, так это попытаться его ослабить, чтобы следовало поменьше лишнего — а не пытаться приписать странным следствиям какой-то смысл. Он не обязательно должен быть; смысл придуман и назначается людьми и для людей и в зависимости от условий.

Paul Ivanov в сообщении #1307019 писал(а):

всегда найдутся числа, выходящие за рамки данного свойства, которые мы тем не менее можем изучить приписав им универсальные свойства и поэтому мы не можем знать, вдруг существует такое определение хорошего свойства, которое позволит описать все вещественные числа

Нет, мы ограничены языком. Только взяв язык с несчётным числом символов, мы сможем выразить каждое вещественное число (например, просто добавив по константе для каждого вещественного числа). А это уже умозрительная конструкция, в реальности человек не может оперировать несчётным числом символов.

Paul Ivanov в сообщении #1307019 писал(а):

Но возникает следующий логичный вопрос. Что если существует бесконечно много различных вариантов развития математики и причём кол-во этих вариантов совпадает по мощности с мощностью континуума?

Если пользоваться обычным пониманием того, что такое разные истории, несчётного не получится, просто опять же потому, что люди могут различить не более чем счётное количество вещей (а каждый отдельный человек — фактически конечное), да и счётное получится только целиком, а не в каждом временно́м срезе.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- текст следует сделать более читаемым;
- неправильно оформлены цитаты.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.