Общая топология: изолированная точка в подпространстве

[PeterSam]

Здравствуйте! Вопрос следующий.
В ходе решения одной задачи (если понадобится - приведу условие) появляется необходимость доказать, что в если в подпространстве данного топологического пространства существует изолированная точка, то существует изолированная точка во всём данном пространстве.
Сначала мне это казалось очевидным. Если $(Y, \mathcal{T}_{Y})$ - подпространство топологического пространства $(X, \mathcal{T})$, то множество $Y$ - подмножество множества $X$. Следовательно, думал я, если какая-либо точка является изолированной в подмножестве, то она изолирована во всём множестве. Теперь осознаю, что это не так, что легко показать на примере.

Теперь даже не знаю, как доказать это существование.

P.S. По условию, о пространстве $(X, \mathcal{T})$ известно, что оно является объединением двух своих подпространств, таких, что в каждом из них (например, $V_{1}, V_{2}$) для любой точки $v \in V_{1}, $ существует такая её окрестность $O_{v} \subseteq X$, что $O_{v} \cap V_{1} = \lbrace v \rbrace$.

[пианист]

PeterSam в сообщении #1304236 писал(а):

если в подпространстве данного топологического пространства существует изолированная точка, то существует изолированная точка во всём данном пространстве

Сомнительно.
Вырежем из прямой $(-1,0)$ и $(0,1)$ - в том, что останется, $0$ будет изолированной точкой.

[PeterSam]

пианист в сообщении #1304243 писал(а):

PeterSam в сообщении #1304236 писал(а):

если в подпространстве данного топологического пространства существует изолированная точка, то существует изолированная точка во всём данном пространстве

Сомнительно.
Вырежем из прямой $(-1,0)$ и $(0,1)$ - в том, что останется, $0$ будет изолированной точкой.

Да, действительно.
Приведу в связи с этим полное условие задачи.
Дано хаусдорфово топологическое пространство $(X, \mathcal{T})$. Известно, что оно является объединением двух своих подпространств, таких, что в каждом из них (например, $V_{1}, V_{2}$) для любой точки $v \in V_{1}, $ существует такая её окрестность $O_{v} \subseteq X$, что $O_{v} \cap V_{1} = \lbrace v \rbrace$. Верно ли, что в пространстве $(X, \mathcal{T})$ существует изолированная точка?
Я предполагаю, что верно, такая точка существует.
Из условия следует, только, что изолированные точки существуют в каждом из подпространств $V_{1}, V_{2}$. Но, как только что показал пианист, из этого не следует, что изолированная точка существует во всём пространстве $X$.

То, что $(X, \mathcal{T})$ - хаусдорфово пространство, говорит о том, что в нём у всяких двух точек существуют непересекающиеся окрестности. Но пока не понимаю, как это может помочь ответить на вопрос.

Как тогда быть? Полагаю, изолированные точки в данном пространстве $X$ существуют при выполнении ещё какого-либо условия, до которого нужно докопаться...

[пианист]

Два отрезка, склеенных по центру?

[provincialka]

PeterSam в сообщении #1304249 писал(а):

для любой точки $v \in V_{1}, $ существует такая её окрестность

PeterSam в сообщении #1304249 писал(а):

Из условия следует, только, что изолированные точки существуют

Не только существуют, каждая точка подпространства изолирована в его топологии, именно это написано.
Не вдумывалась в задачу, но чисто эстетически было бы лучше, если бы ответ был отрицательным: каждое подпространство состоит из изолированных точек, а в их объединении таковых нет.

-- 15.04.2018, 11:48 --

(Оффтоп)

да, точно, ответ отрицательный, можно постоить пример для пространства из 4 точек UPD нет, не проходит

[Someone]

PeterSam в сообщении #1304249 писал(а):

Дано хаусдорфово топологическое пространство $(X, \mathcal{T})$. Известно, что оно является объединением двух своих подпространств, таких, что в каждом из них (например, $V_{1}, V_{2}$) для любой точки $v \in V_{1}, $ существует такая её окрестность $O_{v} \subseteq X$, что $O_{v} \cap V_{1} = \lbrace v \rbrace$. Верно ли, что в пространстве $(X, \mathcal{T})$ существует изолированная точка?

Уточните: это требование выполняется только для $V_1$, или для $V_2$ тоже?

Если требовать только для $V_1$, то можно построить пространство без изолированных точек; если же и для $V_2$ тоже, то легко доказать, что изолированная точка будет.

[PeterSam]

provincialka в сообщении #1304352 писал(а):

Не только существуют, каждая точка подпространства изолирована в его топологии, именно это написано.

Да, вот и возникает вопрос - если хаусдорфово топологическое пространство является объединением двух подпространств, причём все точки каждого из этих подпространств - изолированные (в своих топологиях, как Вы верно подметили), то существует ли изолированная точка во всём пространстве? На мой взгляд, очевидно, что изолированными окажутся как раз-таки все точки пространства $X$.

Someone в сообщении #1304373 писал(а):

Уточните: это требование выполняется только для $V_1$, или для $V_2$ тоже?

Требование выполняется для каждого из двух подпространств. С чего тогда начать доказательство, на что опираться?
Пытаюсь доказать методом от противного.
Предположим, что в $X$ не существует изолированной точки. То есть, для каждой точки $x \in X$ любая её окрестность имеет со множеством $X$ по крайней мере две точки пересечения: сама точка $x$ и точка $x_{1}$... Насколько я понимаю, нужно как-то прийти к тому, что это возможно только в том случае, если $x$ и $x_{1}$ лежат в разных подпространствах $V_1$ и $V_2$.

[provincialka]

Я тут попробовала построить контрпример, не удалось, но, может, ход мысли пригодится? (сразу скажу, задачу я не решала)

Пусть $V_1=\{a,b\},V_2=\{c,d\}$. Ясно, что множества $\{a,b\},\{c,d\}$ не являются открытыми. Но открытыми должны быть какие-то множества, содержащие каждый элемент $a,b,c, d$, например, $\{a,c\},\{b,d\}$. В такой топологии неотделимы $a$ и $c$. Значит, нужно ещё открытое множество $U$, содержащее $a$, но не содержащее $c$. Но тогда пересечение $\{a,c\}\cap U$ содержит только $a$.

[beroal]

PeterSam в сообщении #1304249 писал(а):

Дано хаусдорфово топологическое пространство $(X, \mathcal{T})$. Известно, что оно является объединением двух своих подпространств, таких, что в каждом из них (например, $V_{1}, V_{2}$) для любой точки $v \in V_{1}, $ существует такая её окрестность $O_{v} \subseteq X$, что $O_{v} \cap V_{1} = \lbrace v \rbrace$. Верно ли, что в пространстве $(X, \mathcal{T})$ существует изолированная точка?

$X=\emptyset$ вроде удовлетворяет условию.

[PeterSam]

Спасибо за ответы! Всё же попытаю счастье решить эту задачу)

beroal в сообщении #1304427 писал(а):

$X=\emptyset$ вроде удовлетворяет условию.

Забыл пару важных деталей в условии.
Дано хаусдорфово непустое регулярное топологическое пространство $(X, \mathcal{T})$. Известно, что оно является объединением двух своих подпространств, таких, что в каждом из них (например, $V_{1}, V_{2}$) для любой точки $v \in V_{1}, $ существует такая её окрестность $O_{v} \subseteq X$, что $O_{v} \cap V_{1} = \lbrace v \rbrace$. Верно ли, что в пространстве $(X, \mathcal{T})$ существует изолированная точка?

Итак, к какому выводу я пришёл, в том числе благодаря форумчанам Оба подпространства состоят целиком из изолированных точек в своих топологиях. Предположим, что в $X$ не существует изолированной точки. То есть, для каждой точки $x \in X$ любая её окрестность имеет со множеством $X$ по крайней мере две точки пересечения: сама точка $x$ и точка $x_{1}$. Заметим, что $x$ и $x_{1}$ не могут лежать в одном подпространстве (поскольку каждое из подпространств $V_{1}, V_{2}$ состоят только из изолированных точек). Следовательно, если, например, $x \in V_{1}$, то $x_{1} \in V_{2}$...
Полагаю, что как-то нужно использовать тот факт, что пространство $(X, \mathcal{T})$ - хаусдорфово (т.е. для любых двух различных точек существуют их непересекающиеся окрестности). Буду признателен, если кто-то подтолкнёт на правильный путь в доказательстве этого факта)

[Someone]

PeterSam в сообщении #1306095 писал(а):

То есть, для каждой точки $x \in X$ любая её окрестность имеет со множеством $X$ по крайней мере две точки пересечения: сама точка $x$ и точка $x_{1}$.

Э-э-э… Ведь у Вас $X$ — это всё топологическое пространство, все окрестности всех точек в нём просто содержатся, а не пересекаются. И в регулярном (и даже в $T_1$) пространстве, если точка не изолированная, её окрестность не может состоять из конечного числа точек.

[PeterSam]

Someone в сообщении #1306234 писал(а):

Э-э-э… Ведь у Вас $X$ — это всё топологическое пространство, все окрестности всех точек в нём просто содержатся, а не пересекаются. И в регулярном (и даже в $T_1$) пространстве, если точка не изолированная, её окрестность не может состоять из конечного числа точек.

Понимаю, поэтому и написал "по крайней мере две точки". Поскольку пытаюсь доказать от противного, что в $X$ есть изолированная точка, то предполагаю, что в в $X$ изолированных точек нет. Чтобы это сделать, нужно сначала сформулировать отрицание следующего высказывания: "В $X$ найдётся такая точка, что существует её окрестность, пересечение которой с $X$ состоит только из этой точки". Отрицание, насколько я понимаю, выглядит так: "Для любой точки $X$ любая её окрестность в пересечении с $X$ состоит более чем из одной точки".
К сожалению, дальше пока продвижения нет(

[Someone]

PeterSam в сообщении #1306250 писал(а):

"В $X$ найдётся такая точка, что существует её окрестность, пересечение которой с $X$ состоит только из этой точки".

Вы здесь произносите лишние слова, запутывающие ситуацию. Что за "пересечение с $X$"? Откуда взялось это пересечение и чем $X\cap U$ отличается от $U$, если $U$ — это окрестность какой-то точки в $X$?

PeterSam в сообщении #1306250 писал(а):

Чтобы это сделать, нужно сначала сформулировать отрицание следующего высказывания: "В $X$ найдётся такая точка, что существует её окрестность, пересечение которой с $X$ состоит только из этой точки". Отрицание, насколько я понимаю, выглядит так: "Для любой точки $X$ любая её окрестность в пересечении с $X$ состоит более чем из одной точки".
К сожалению, дальше пока продвижения нет(

Пока Вы сами себе придумываете ненужные проблемы, продвижения не будет.

Начать можно было бы так.
Возьмём любую точку $x_0\in X$. Тогда либо $x_0\in V_1\setminus V_2$, либо $x_0\in V_2\setminus V_1$, либо $x_0\in V_1\cap V_2$. …

[beroal]

PeterSam в сообщении #1306095 писал(а):

Известно, что оно является объединением двух своих подпространств, таких, что в каждом из них (например, $V_{1}, V_{2}$)

Насколько я понял, это эквивалентно $X=V_1\cup V_2$. Топологии, индуцированные на $V_1$ и $V_2$, в условии не используются.

У меня получилось доказать «да», если заменить «хаусдорфово регулярное» на «колмогорово» ($T_0$).

[Someone]

beroal в сообщении #1307861 писал(а):

Топологии, индуцированные на $V_1$ и $V_2$, в условии не используются.

Ну, прямо слова "индуцированная топология" не произносятся, но смысл условия

PeterSam в сообщении #1304249 писал(а):

Известно, что оно является объединением двух своих подпространств, таких, что в каждом из них (например, $V_{1}, V_{2}$) для любой точки $v \in V_{1}, $ существует такая её окрестность $O_{v} \subseteq X$, что $O_{v} \cap V_{1} = \lbrace v \rbrace$.

с последующими уточнениями состоит в том, что подпространства $V_1$ и $V_2$ с индуцированными топологиями являются дискретными.

beroal в сообщении #1307861 писал(а):

У меня получилось доказать «да», если заменить «хаусдорфово регулярное» на «колмогорово» ($T_0$).

Э-э-э… Для $T_1$ вижу, а для $T_0$ мне уже интересно. Здесь в теме выкладывать решение как бы нельзя, поскольку это учебная задача. Может быть, в личную переписку перейдём?