Уравнение в ЦНЧ, 17042018

[Ktina]

Решить в целых неотрицательных числах уравнение

$$14^k+65=n^2$$

[wrest]

$k=3$;$n=53$

[Ktina]

wrest
Единственное решение?

[wrest]

Ktina в сообщении #1305054 писал(а):

Единственное решение?

Скорее всего.

[PETIKANTROP]

решений много
?

[Ktina]

PETIKANTROP в сообщении #1305062 писал(а):

решений много

Если $k$ чётно, решений нет, поскольку в этом случае 65 являлось бы разностью двух квадратов, но оно слишком малО.

[rockclimber]

Ktina в сообщении #1305054 писал(а):

wrest
Единственное решение?

Проверил до $k=35$, дальше точности не хватает. Дальше надо либо программировать самому расширение для работы с очень большими числами (долго и неохота), либо где-то искать готовые.

[wrest]

rockclimber в сообщении #1305065 писал(а):

либо где-то искать готовые.

«интерактивный курс: введение в программирование на PARI/GP»

[rockclimber]

wrest
Гуглом любой дурак пользоваться может. А вот пользоваться результатами на рабочем компьютере в сверхзабюрократизированной организации - не, столько лени мне не побороть.
Вот если б вы мне макрос для экселя нашли - я б позапускал.

[kotenok gav]

Проверил до k=27, нашел такие решения:
k n
3 53
16 1475789056
18 20661046784
20 289254654976
22 4049565169664
24 56693912375296
26 793714773254144
27 2969808744337972

[Ktina]

kotenok gav в сообщении #1305072 писал(а):

Проверил до k=27, нашел такие решения:
k n
3 53
16 1475789056
18 20661046784
20 289254654976
22 4049565169664
24 56693912375296
26 793714773254144
27 2969808744337972

PETIKANTROP в сообщении #1305062 писал(а):

решений много

Если $k$ чётно, решений нет, поскольку в этом случае 65 являлось бы разностью двух квадратов, но оно слишком малО.

[wrest]

kotenok gav в сообщении #1305072 писал(а):

Проверил до k=27, нашел такие решения:

Плохо проверяли: точность потеряна, случилось округление.

[rockclimber]

kotenok gav в сообщении #1305072 писал(а):

16 1475789056

$14^{16} = 2177953337809371136$

$14^{16} +65 = 2177953337809371201$

$1475789056^2 = 2177953337809371136$

См. мой пост выше...

[EUgeneUS]

если $k$ нечетное, то $k=2i+1$, где $i$ - целое

Тогда можно записать так:
$14(14^{2i}-2^2)=n^2-11^2$

Последняя десятичная цифра результата равна $8$ при любом целом и положительном $i$.
А предпоследняя - четная (может быть и ноль).

[Ktina]

EUgeneUS в сообщении #1305128 писал(а):

если $k$ нечетное, то $k=2i+1$, где $i$ - целое

Тогда можно записать так:
$14(14^{2i}-2^2)=n^2-11^2$

Последняя десятичная цифра результата равна $8$ при любом целом и положительном $i$.
А предпоследняя - четная (может быть и ноль).

Но ведь при $k=3$ есть решение!