Теория вероятностей задача на схему Бернулли

[Key27]

Стрелок стреляет по мишени до $r$-го попадания. Вероятность попадания равна $p$. $\xi$ — количество промахов. Нужно найти $P(\xi=k)$, где $k=N\cup{0}$. То есть вероятность, что количество промахов будет равно $k$
Со случаем, когда $r=1$ вроде бы просто: $(1-p)^{k}p$.
Но $r$ произвольное, как быть тогда?

[arseniiv]

Все ситуации с $r$ попаданиями можно разбить на классы: попадания подряд, попадания с одним промахом где-то среди них, попадания с двумя промахами, с тремя и т. д..

[Key27]

arseniiv
Как-то так?
$r$ попаданий подряд $p^r$
$r$ попаданий c 1 промахом $C_r^1 p^r(1-p)$
$r$ попаданий c 2 промахом $C_r^2 p^r(1-p)^2$
...
$r$ попаданий c $k$ промахами $C_r^k p^r(1-p)^k$

[arseniiv]

Только числа сочетаний у вас какие-то не те. Если $r$ попаданий и $k$ промахов, всего-то выстрелов $r+k$, а не $r$. После этого останется свернуть сумму всего этого богатства.

[Key27]

arseniiv
Да, намудрил.
А если нужно найти вероятность того, что $\xi$- нечетное, то просто поделить полученную сумму на 2?

[arseniiv]

Мне лично неочевидно, почему бы деление на 2 должно было дать правильный результат.

[provincialka]

Ну, вообще-то это известная задача

[Key27]

arseniiv
Может быть у вас найдется идея, как можно посчитать такую вероятность?

[Otta]

Да боже ж мой А у Вас ужели нет идеи?

Key27 в сообщении #1304220 писал(а):

$r$ попаданий c 2 промахом $C_r^2 p^r(1-p)^2$

2 промаха. $r$ попаданий. Какой длины серия? Из скольки мест сколькими способами выбираются места для промахов? Что и на что нужно исправить в Вашей формуле выше?

[Key27]

Otta
Если вы о $C_{r+2}^2 p^r(1-p)^2$ , то это уже писал arseniiv и это я отлично понял.

Сейчас я думаю(пытаюсь) над :

Key27 в сообщении #1304223 писал(а):

нужно найти вероятность того, что $\xi$- нечетное

И надумал это: $\sum\limits_{k=1}^{r+(2k-1)} C_{r+(2k-1)}^{2k-1}p^r(1-p)^k$. Правильно ли это?

[iifat]

Key27 в сообщении #1304314 писал(а):

и это я отлично понял

Ну если поняли, исправьте ж таки формулу

Key27 в сообщении #1304314 писал(а):

И надумал это

[Key27]

iifat
$C_{r+k}^k p^r(1-p)^k$ где $k$- кол-во промахов, а r - попаданий

[iifat]

Я, вообще-то, специально процитировал

Key27 в сообщении #1304314 писал(а):

И надумал это

чтобы дать понять, про какую именно формулу я говорю.

[Key27]

iifat
Неужели $\sum\limits_{k=1}^{r} C_{r+(2k-1)}^{2k-1}p^r(1-p)^k$ ?
Если нет, тогда мне не понятно, где еще может быть ошибка

[iifat]

Вы, извиняюсь, осознаёте, что ваша формула вообще не зависит от $k$? Не кажется ль вам это странным? Возьмите $r=1$ и попробуйте переписать без знака суммы, к примеру.
Ну и то, что вы «поняли», лучше б ещё раз перечесть и таки понять.