Существуют ли стандартные обозначения для...

[cabadath]

1) Существуют ли какой-нибудь стандартный термин для обозначения групп, грубо говоря, отличающихся на свой элемент, т.е. например $G=(A,x+y,0)$ и $H=(A,x+y+a,-a)$?

2) Есть ли какое-нибудь стандартное обозначение, позволяющее обращаться к структуре, как ко множеству? Ну, допустим, у меня есть группа $G$, да или вообще все что угодно, хоть бы и бинарное отношение, и я вдруг хочу упомянуть его, но так, чтобы подчеркнуть, что я рассматриваю его как множество, без заданной на нем структуры. Как бы это устроить? В фигурные скобки его заключать?

[arseniiv]

Про 2. Часто достаточно взять это самое $G$ и прям так и оставить. В сложных случаях носитель обычно упоминается заранее, типа $\mathcal G = (G,+_{\mathcal G})$, или бывает соглашение о том, что (для любой буквы) $X$ означает носитель $\mathcal X$. Стандартного обозначения «взятия носителя» вроде нет. Но можно ведь всегда определить явно, особенно если альтернативы читаются, по-вашему, хуже.

Про 1. Эта связь групповых структур, кажется, не настолько часто попадающееся явление, чтобы было что-то общеизвестное. Опять же, никто вас не съест, если вы введёте своё обозначение. Например, если нижние/верхние индексы мало используются, можно везде (к бинарной операции, к нейтральному элементу, к обращению, к обозначению самой группы) подобавлять индекс $a$.

-- Ср апр 11, 2018 20:31:26 --

Щас узнаем, что другие думают.

[Qlin]

cabadath в сообщении #1303196 писал(а):

стандартное обозначение, позволяющее обращаться к структуре, как ко множеству

Если определено понятие структуры как некоторого упорядоченного набора, и вместе с тем определено место носителя в нем, то ничто не мешает взять нужную проекцию. Если носитель группы $G$ на $i$-ом месте, то он равен $\operatorname{pr_i} G$.

[beroal]

cabadath в сообщении #1303196 писал(а):

1) Существуют ли какой-нибудь стандартный термин для обозначения групп, грубо говоря, отличающихся на свой элемент, т.е. например $G=(A,x+y,0)$ и $H=(A,x+y+a,-a)$?

Извините, не понял. Заменить один элемент носителя группы на другой?

cabadath в сообщении #1303196 писал(а):

2) Есть ли какое-нибудь стандартное обозначение, позволяющее обращаться к структуре, как ко множеству? Ну, допустим, у меня есть группа $G$, да или вообще все что угодно, хоть бы и бинарное отношение, и я вдруг хочу упомянуть его, но так, чтобы подчеркнуть, что я рассматриваю его как множество, без заданной на нем структуры. Как бы это устроить? В фигурные скобки его заключать?

Я думаю, стоить добавить, что «структура как множество» называется «носитель» или «подстилающее множество». В терминологии Бурбаки, под структурой подразумеваются только операции, а группа есть множество, наделённое структурой группы.

Я видел следующие обозначения носителя.

• $|G|$ обозначает носитель $G$.
• Множество обозначается прописной латинской буквой, например, $A$, а то же самое множество вместе со структурой обозначается той же жирной буквой, например, $\mathbf{A}$. Это в универсальной алгебре.

[cabadath]

Ага, большое спасибо всем за ответы.

beroal в сообщении #1303467 писал(а):

$|G|$ обозначает носитель $G$.

Я вот тоже машинально писал модуль, не знаю откуда я это взял (скорее всего увидел в какой-то книге и отложилось в подсознание), но сильно смущался тем, что модуль обычно используют для мощности.

Цитата:

Извините, не понял. Заменить один элемент носителя группы на другой?

У меня не поворачивается язык назвать это автоморфизмом, потому что автоморфизм предполагает перестановку членов группы и сохранение групповой операции. А тут как раз наоборот сохраняется носитель, а меняется групповая операция.
Но на самом деле это конечно почти тоже самое.

[Munin]

1 - это отображение, называемое левым (или правым, здесь всё равно) сдвигом (трансляцией): $H=(-a)+G=G+(-a).$

Кострикин. Введение в алгебру. Ч. 3. Гл. 1. § 3.

 Здесь можно понимать операцию как применяемую по Минковскому. 

Поскольку групповая операция, нейтральный и обратный элементы при гомоморфизме восстанавливаются однозначно по отображению множеств, отдельно их обозначать не надо. Впрочем, для левого сдвига иногда вводится (не знаю, насколько общепринято) $L_{(-a)}(g)\colon g\mapsto(-a)+g$ (для правого сдвига $R_{(-a)}(g)\colon g\mapsto g+(-a)$), и если использовать это обозначение, можно записать

$L_{(-a)}(+_G)=+_H,$
$L_{(-a)}(e_G)=e_H,$
$L_{(-a)}(\cdot^{-1}{}_G)=\cdot^{-1}{}_H.$

В английской википедии встречаются обозначения $\lambda(-a)$ и $\rho(-a).$

Добавлю, что кроме сдвигов распространены также сопряжения.

Ещё добавлю, что под ваше описание также подпадает $(-a)+(-G)=(-G)+(-a).$

[cabadath]

Munin в сообщении #1303484 писал(а):

1 - это отображение, называемое левым (или правым, здесь всё равно) сдвигом (трансляцией): $H=(-a)+G=G+(-a).$

О, вот как раз то что нужно, спасибо большое.

[Munin]

Дописал:

Munin в сообщении #1303484 писал(а):

В английской википедии встречаются обозначения $\lambda(-a)$ и $\rho(-a).$

И ещё пара ссылок:

Вавилов. Конкретная теория групп. Гл. 6. § 2.
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_representation

[beroal]

cabadath в сообщении #1303196 писал(а):

1) Существуют ли какой-нибудь стандартный термин для обозначения групп, грубо говоря, отличающихся на свой элемент, т.е. например $G=(A,x+y,0)$ и $H=(A,x+y+a,-a)$?

Полагаю, вы превращаете коммутативную группу $G=(A,+,0,-)$ в группу $H=(A,(x, y)\mapsto x+y+a,-a, x\mapsto -(x+a+a))$. Я бы назвал $H$ группой, индуцированной группой $G$ по биекции $-$. По биекции можно любую алгебраическую структуру индуцировать, при этом биекция станет изоморфизмом.

[arseniiv]

beroal в сообщении #1303551 писал(а):

Полагаю, вы превращаете коммутативную группу $G=(A,+,0,-)$ в группу $H=(A,(x, y)\mapsto x+y+a,-a, x\mapsto -(x+a+a))$.

Кстати, я тоже так подумал. А вообще это можно провернуть и с некоммутативной группой, но тогда надо $a$ расставлять аккуратно: $x*'y = x*a*y$, $x^{-1}' = a^{-1}*x^{-1}*a^{-1}$. Правда, обычно это преобразование сопоставляется не $a$, а $a^{-1}$, чтобы нейтральный элемент получался $a$, а не $a^{-1}$.

Munin в сообщении #1303484 писал(а):

Здесь можно понимать операцию как применяемую по Минковскому.

И группа тогда превращается в себя, если $a\in G$. Это явно не то.

[Munin]

beroal в сообщении #1303551 писал(а):

Я бы назвал $H$ группой, индуцированной группой $G$ по биекции $-$.

По биекции $g\leftrightarrow g+(-a),$ видимо, подразумевалось.

arseniiv в сообщении #1303559 писал(а):

И группа тогда превращается в себя, если $a\in G$. Это явно не то.

Если я ляпнул не то, извиняюсь. Щас подумаю.

[cabadath]

beroal в сообщении #1303551 писал(а):

Полагаю, вы превращаете коммутативную группу $G=(A,+,0,-)$ в группу $H=(A,(x, y)\mapsto x+y+a,-a, x\mapsto -(x+a+a))$. Я бы назвал $H$ группой, индуцированной группой $G$ по биекции $-$. По биекции можно любую алгебраическую структуру индуцировать, при этом биекция станет изоморфизмом.

Ну, мне просто нужен был короткий термин, и "$G - трансляция $H" вполне устроило.
А определял бы я, скорее всего, по-другому: сперва представил бы группу как набор действий на себе, а трансляцию - как этот же набор, ну уже под под действием фиксированного элемента. Вроде бы так сразу понятно, что это такое по сути.

[Munin]

Осторожней, "действие группы на множестве" - это термин.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1303627 писал(а):

Если я ляпнул не то, извиняюсь. Щас подумаю.

Или я что-то быстро написал. Если определить на носителе $G$ структуру, которую beroal и я дали (и ТС в самом начале, но очень неаккуратно) и назвать это всё $H$, ваша биекция как раз даёт изоморфизм $G$ и $H$. Просто без дополнительной структуры она будет скучной, и я сразу что-то не подумал.

Кстати, если это всё делается от того, что надоел нейтральный элемент, его можно не менять на другой, а вообще выкинуть, рассматривая груду (heap) группы — это её носитель вместе с операцией $[x,y,z] = x*y^{-1}*z$. Такая алгебраическая структура имеет даже свою аксиоматизацию, не упоминающую группы, и некоторые структуры естественно являются грудами, но не группами. В частности, множество изоморфизмов между двумя какими-нибудь штуками образует груду по операции $[h,g,f] = h\circ g^{-1}\circ f$, но не группу, пока мы не выделим какой-то из изоморфизмов особо. Аффинное пространство тоже груда, а операция $[A,B,C]$ имеет наглядный смысл вершины $X$ параллелограмма $ABCX$.

[cabadath]

arseniiv в сообщении #1303675 писал(а):

Кстати, если это всё делается от того, что надоел нейтральный элемент, его можно не менять на другой, а вообще выкинуть, рассматривая груду (heap) группы — это её носитель вместе с операцией $[x,y,z] = x*y^{-1}*z$.

Лол, вы угадали, для чего мне это надо было.

Собственно, я эту штуку сам придумал, потом обнаружил, что такое прекрасно существует, но не очень расстроился, потому что понимаю, насколько практически невозможно придумать сейчас что-то новое, да еще и полезное.

Но мне как раз и нужен был термин – сказать, что вот мы забыли нейтральный элемент, потом вспомнили какой-то другой, и получили... ну вот как раз трансляцию и получили.