Матрица фильтра-ортогонализатора

[SergeiSX]

Здравствуйте!
Встретил матричные соотношения которые никак не могу уяснить для себя. Имеется матрица $Y$ размера $N \times K$, столбцы которой представляют из себя векторы данных. Фильтр - ортогонализатор описывается матрицей $\Phi $ размера $N \times N$. Действие матрицы фильтра $\Phi $ на исходный набор данных $Y$ обладает следующим свойством:
$\Phi \cdot Y = Z$ (1)
$Z \cdot {Z^H} = I$
То есть происходит ортогонализация исходного набора данных.
Затем вводится матрица $\Psi = {\Phi ^H} \cdot \Phi $, так называемая матрица фильтра-биортогонализатора. Она обладает следующим свойством при действии на исходный набор данных $Y$:
$\Psi \cdot Y = V$ (2)
$V \cdot {Y^H} = I$
То есть происходит биортогонализация исходного набора данных.
Далее в источнике утверждается что проверить соотношения (2) непосредственно не составляет труда если выполняются соотношения (1). И тут я впал в ступор) Никак не получается доказать соотношения (2). Судя по всему я упускаю какие то матричные тожедства( Буду рад любой помощи!

[Евгений Машеров]

А можно источник? А то мне кажется, что в последнем равенстве сомножители переставлены...

[SergeiSX]

Здравствуйте, [b][color=#3333FF]Евгений Машеров[/color][/b]. Прилагаю ссылку на данное произведение. Оно называется "Адаптация и сверхразрешение в антенных решетках" Ратынский М.В.
http://dropmefiles.com/DBONY По ссылке лежит само произведение и нужная страница в виде файла png
45 страница

[Aritaborian]

SergeiSX в сообщении #1300981 писал(а):

45 страница

Для удобства: вот она (сорок пятая страница; в содержание не вникал).

[v_n]

Вы упустили условие $K{\geqslant}N$.
А так все просто. Домножим равенство $Z\cdot{Z^H}=I$ слева на $\Phi^H$ и справа на $\Phi$. Так как матрица ${\Phi^H}\cdot\Phi$ невырождена, то можно полученное равенство сократить справа на нее и получить искомое.

[SergeiSX]

Спасибо, v_n ! Я правильно понимаю что условие $K \geqslant N$ дает невырожденность матрицы $\Psi$

[v_n]

SergeiSX
Нет. В обратном случае матрица $Y\cdot{Y^H}$ была бы гарантировано вырождена и равенство $Z\cdot{Z^H}=I$ просто не могло бы выполняться.
Возьмите определитель двух частей этого равенства. Тогда будет ясно какие определители не могут равняться нулю.

[SergeiSX]

v_n, то есть произведение матриц меньших рангов никогда не может дать матрицу большего ранга чем у сомножителей?