Задача по электродинамике

[Roxkisabsver]

Задача. Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода равно $\rho(r)=-\frac{e}{\pi a^3}\exp{\frac{-2r}{a}}$, где $a$ - боровский радиус, $e$ - заряд электрона, $r$ - расстояние до центра атома. Найти напряженность $\vec{E}(r)$ и потенциал $\varphi (r)$ электромагнитного поля, создаваемого электронным облаком. Чему равна энергия взаимодействия $U$ протона с электронным облаком?

В принципе, $\vec{E}(r)$, а за ним и $\varphi (r)$ вычисляются просто.

У меня получилось: $E(r) = \frac{e}{r^2} \exp{-\frac{2r}{a}} [1+\frac{2r}{a}(1+\frac{r}{a})] $. Если что, то с ответом в задачнике это совпадает.

Но у меня другой вопрос, а именно про энергию взаимодействия. Я же не должен рассматривать электрон как точечный заряд (что продиктовано духом задачи). В данном случае электрон - суть размазанное облако.

Какой формулой для энергии взаимодействия я должен пользоваться? Подойдет ли $U = \frac{1}{2} \int{\rho \varphi dV}$

[Munin]

Подойдёт.

Хотя надо вам сказать, что вся эта задача "неправильная". Есть настоящая квантовая механика, а есть её некоторое упрощение. Вот задача поставлена в рамках этого упрощения. Для некоторых случаев упрощение работает, а в некоторых - страшно лажает. Не стоит принимать его за чистую монету. Вот такое предупреждение на будущее.

[Roxkisabsver]

Munin в сообщении #1178778 писал(а):

Для некоторых случаев упрощение работает, а в некоторых - страшно лажает.

Конечно, я понимаю что всё это - классическое приближение.

-- 20.12.2016, 23:03 --

Munin в сообщении #1178778 писал(а):

Подойдёт.

Хотел спросить еще. В этой формуле $\varphi$ есть потенциал вычисленный по общему $E(r)$ ?

[Munin]

Roxkisabsver в сообщении #1178782 писал(а):

Конечно, я понимаю что всё это - классическое приближение.

Не совсем. Это называется "полуклассическое приближение". В нём считается, что электрон подчиняется квантовой механике, а вот его электрическое поле - классическое.

Если не пользоваться приближением, то придётся квантовать электромагнитное поле. Получается сложная наука - квантовая электродинамика (КЭД). Неприятность в том, что она сложнее стандартного курса квантовой механики. И далеко не всем её вообще читают, даже из тех, кому читают нормально КМ. Из-за этого, из вузов выходит много людей, которые думают, что "полуклассическое приближение" - и есть истина. Гораздо больше, чем людей, прослушавших КЭД (а их - в свою очередь больше, чем сумевших её понять).

[Alex-Yu]

Roxkisabsver в сообщении #1178782 писал(а):

Хотел спросить еще. В этой формуле $\varphi$ есть потенциал вычисленный по общему $E(r)$ ?

Нет. Сам с собой электрон не взаимодействует. Надо взять потенциал одного только протона. В этом проявляется то, что на самом деле здесь отнюдь не классическое облако "размазанного" заряда. Вот для классического "размазанного" заряда надо было бы брать полный потенциал.

[Eule_A]

Alex-Yu
Всё-таки тема старовата, не правда ли?..

[Alex-Yu]

Eule_A в сообщении #1296675 писал(а):

Alex-Yu
Всё-таки тема старовата, не правда ли?..

Хм... И правда. Но увидел я ее на первой странице. Вглубь истории я вообще никогда не лазаю. Что-то с движком форума не то, такое не первый раз за последнее время (со мной первый, но видел аналогичное).