Почему мы можем убрать модуль в решении ДУ?

[thething]

Twolka в сообщении #1294142 писал(а):

Вот в том-то и дело, что я не переобозначаю константы в данном случае.

Ок, выпишу эту систему ($C>0$)

$$y=\begin{cases} Cx,&\text{если $x>0,y>0$ или $x<0,y<0$;}\\ -Cx,&\text{если $x<0,y>0$ или $x>0,y<0$.} \end{cases}$$

Теперь возвращаемся к задаче Коши $y(-1)=1$, решаем ее, понимаем, что от изменения условия суть не поменяется и наслаждаемся идеальными прямыми))

-- 24.02.2018, 20:01 --

Twolka в сообщении #1294142 писал(а):

Это совершенно разные константы изначально.

Прям совершенно разными они быть не могут, т.к. дифур первого порядка

[Twolka]

Н-е-е-т не правда. Система должна быть такая:

$$y=\begin{cases} C_1x,&\text{если x>0,y>0}, C_1 > 0;\\ C_2x,&\text{если x<0,y<0}, C_2 > 0;\\ C_3x,&\text{если x<0,y>0}, C_3 < 0;\\ C_4x,&\text{если x>0,y<0}, C_4 < 0. \end{cases}$$

[thething]

я пас, не обижайтесь..

(С надеждой) связь-то между константами какая-то есть?

[Twolka]

Написал до того, как прочитал это:

thething в сообщении #1294143 писал(а):

Прям совершенно разными они быть не могут, т.к. дифур первого порядка

А почему так?

-- 24.02.2018, 18:13 --

thething в сообщении #1294145 писал(а):

:facepalm:
я пас, не обижайтесь..
(С надеждой) связь-то между константами какая-то есть?

Вообще, по моему предположению - не должно быть. Но вот эта надпись может всё объяснить

thething в сообщении #1294143 писал(а):

Прям совершенно разными они быть не могут, т.к. дифур первого порядка

[thething]

Twolka в сообщении #1294146 писал(а):

А почему так?

Ну, если это хоть как-то поможет (хотя я хоть ты тресни не пойму, откуда там 4 совершенно разные константы), то гляньте определение общего решения обыкновенного дифференциального уравнения

[Twolka]

Решением или интегралом дифференциального уравнения
называется всякая функция $ y = f (x) $, подстановка которой в
дифференциальное уравнение обращает дифференциальное
уравнение в тождество.

При этом функция и её производная (производные) должны быть определены на всей области определения функции.

Из этого следует, что для уравнения $\frac{y}{x} = \frac{xy'}{x}$ решениями являются любые функции, которые определены (вместе со своими 1-ми производными) на $ $\forall$x $\ne$ 0$ т.е. вот эта конкретная система при независимых $C_1$ и $C_2$ является решением: $y = \begin{cases} C_1 x, x > 0 \\ C_2 x, x < 0\end{cases}$ $\forall C \in \mathbb{R}$

[thething]

А можно без слов? Вот у нас есть дифур $F(x,y,y')=0$. Напишите, каков общий вид его общего решения.

[Twolka]

$y = C f(x)$?

-- 24.02.2018, 18:40 --

Да, я поправил, но всё-же не уверен в своём ответе

[thething]

Хотел написать, но не буду, не педагогично. Поищите этот общий вид, в любой книжке по дифурам))

-- 24.02.2018, 20:44 --

Честно говоря, с этого и надо было начинать, но я как-то подумал, что раз человек решает дифур, то должен понимать, ЧТО именно он ищет

[Twolka]

Ну хотя только что нашел вот такое общее решение, думаю оно будет правильнее: $y = f(x, C)$. Но всё же я не могу понять, почему функция не может быть кусочно-заданной.

[thething]

Twolka в сообщении #1294157 писал(а):

$y = f(x, C)$

Риторический вопрос: сколько констант?

Twolka в сообщении #1294157 писал(а):

почему функция не может быть кусочно-заданной

задавайте как хотите, только будьте добры куски склеить как надо..

[Twolka]

Я понимаю, что константа одна всего-лишь.
Но кусочно-заданную функцию с двумя константами тоже ведь можно подставить и получится верное тождество.

-- 24.02.2018, 18:51 --

В чём логика?

[Xaositect]

thething, не путайте человека. Определение у него правильное и констант действительно в общем случае может быть много. Если все функции хорошие и везде выполняется теорема единственности - тогда одна. А, например, общим решением уравнения $xy' = 2y$ будет $y = \begin{cases} C_1 x^2, x \geq 0 \\ C_2 x^2, x < 0 \end{cases}$.

Twolka в сообщении #1294113 писал(а):

$\frac{y}{x} = \frac{x \cdot y'}{x}$

Если рассматривать это уравнение как уравнение на функцию в области $\mathbb R \setminus \{0\}$, то тут тоже будет две константы. Но так никто не делает, потому что несвязные области рассматривать не хочется. Это уравнение можно рассматривать либо на одном луче, а если его рассматривают на всей прямой, то в точке 0 предполагается какая-то непрерывность.

[thething]

Xaositect в сообщении #1294170 писал(а):

А, например, общим решением уравнения $xy' = 2y$ будет $y = \begin{cases} C_1 x^2, x \geq 0 \\ C_2 x^2, x < 0 \end{cases}$.

Как? Вот вид с модулем: $\left\lvert{y}\right\rvert=Cx^2$.
И, конечно же я всю дорогу речь веду о связных множествах. И где в определении общего решения дифура первого порядка несколько констант?

[Xaositect]

thething в сообщении #1294171 писал(а):

Как? Вот вид с модулем: $\left\lvert{y}\right\rvert=Cx^2$.

А Вы подставьте и проверьте, что эти функции действительно являются решениями.
Это все потому что $\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln |x| + \begin{cases} C_1, x > 0 \\ C_2, x < 0 \end{cases}$ а не просто $\ln |x| + C$.