Комплексный анализ

[Nickspa]

Вот такая задача.
Найти

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}e^{2\pi e n! i}$$

Вот такое решение

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}((e^{2\pi i})^e)^{n!}=\lim\limits_{n\to\infty}^{}(1^e)^{n!}=\lim\limits_{n\to\infty}^{}1^{n!}=1$$

Ответ верный, но в рассуждениях есть ошибка. Где? И как решить правильно?

[arseniiv]

Просто $e^{ixy} = (\cos xy + i\sin xy) \not\equiv (\cos x + i\sin x)^y = (e^{ix})^y$. Иногда, конечно, равно, но это специальные случаи. (Вот как раз возьмите $x=2\pi, y=e$ — справа-то у вас получится 1, а слева?)

Вообще, если вы, например, пока прошли только комплексную экспоненту, но не возведение в степень, правую часть вы просто не можете знать.

[alcoholist]

Nickspa в сообщении #1293015 писал(а):

как решить правильно?

Если свято верите в то, что ответ верный, надо всего лишь доказать, что

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\cos\left(2\pi e n!\right) =1.$$

[thething]

Или надо доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}\sin(2\pi{en!})=0$ (на самом деле это неверно).

[bot]

thething в сообщении #1293029 писал(а):

на самом деле это неверно

Это ещё почему?
А вот "или" не пойдёт: $\cos=1\Rightarrow \sin=0$, а наоборот неверно.

[thething]

bot в сообщении #1293031 писал(а):

А вот "или" не пойдёт: $\cos=1\Rightarrow \sin=0$, а наоборот неверно.

А как же тождество? Или Вы про -1 имеете ввилу? Вообще, я имел ввиду рассмотреть мнимую часть вместо действительной. Почему неверно? В силу непрерывности синуса $en!$ должно стремиться к чему-то целому, чтобы получить ноль

[bot]

thething в сообщении #1293032 писал(а):

В силу непрерывности синуса $en!$ должно стремиться к чему-то целому

$\lim\limits_{n\to\infty}\sin 2\pi n= 0$, но $n$ никому ничего не должен.

[thething]

Ну Вы ж написали просто последовательность нулей, у нас же в примере даже ни одного нуля нет. Конечно, это я не конкретизировал сразу свой ответ, моя вина!

[bot]

Ну, если угодно, исправляюсь $\lim\limits_{n\to\infty}\sin 2\pi\left(n+\frac1n\right)=0$. Теперь $n+\frac1n$ кому-нибудь что-нибудь должен?

ЗЫ. Ах да недоисправился - нулики затесались. Ну возьмём $n+\frac1{4n}$ вместо $n+\frac1{n}$, теперь ни одного нулика нет.

[thething]

Да, спасибо. Значит, все не так просто и придется по определению доказывать.

Хотя, в Вашем примере $n+\frac{1}{n}\sim{n}$

[bot]

thething в сообщении #1293037 писал(а):

придется по определению доказывать

Это издалека заход - я бы посоветовал вспомнить (узнать) кое-что про $e.$

[thething]

Пока что переформулирую свое утверждение

thething в сообщении #1293032 писал(а):

$en!$ должно стремиться к чему-то целому

как "$en!$ должна быть эквивалентна целочисленной последовательности, чтобы исходный предел получился нулевым" Кроме случая, когда она стремится к $\frac{1}{2}$ и $\sin\pi=0$

[bot]

Как $e$ раскладывается и какова оценка остатка?
И опять: alcoholist не зря выбрал косинус.

[thething]

Вы имеете ввиду разложение в ряд? Тогда остаток равен $\displaystyle\frac{\theta_n}{nn!}$, $\theta_n\in(0,1)$. Не соображу, как это прикрутить к нашему пределу

(Оффтоп)

Я хоть и не ТС, но стало интересно строго доказать (или опровергнуть) свое утверждение

[bot]

thething в сообщении #1293045 писал(а):

Не соображу, как это прикрутить к нашему пределу

А чего тут крутить - домножайте на $n!$ и дело в шляпе.