Лиса, Утка и озеро.

[EUgeneUS]

wrest
Рассматриваем только хорошие озера. Озеро с "длинным лучом", очевидно не является хорошим.

[worm2]

wrest уже написал, но я дополню.

EUgeneUS в сообщении #1290883 писал(а):

а) Если Лиса куда-то бежит (с максимальной скоростью), то плыть в точку берега, которая максимизирует разницу по времени прибытия туда Утки и Лисы.

Увы, так не получается. Для круглого озера радиуса 1, если Утка находится в центре, а Лиса бежит против часовой стрелки из точки (1, 0), то по гипотезе получается, что Утка должна плыть к точке $(\cos\varepsilon, -\sin\varepsilon)$, где $\varepsilon$ — бесконечно маленький положительный угол, а когда Лиса, видя такой поворот, повернёт обратно, получается, что Утка должна плыть к точке $(\cos\varepsilon, +\sin\varepsilon)$. Т.е. фактически Утка должна плыть прямиком в лапы Лисы.

Вместо этого я бы высказал гипотезу о существовании "обобщённого угла" — неотрицательной функции от трёх аргументов: двух координат утки и одной обобщённой координаты Лисы (длины отрезка границы озера от некоторого начала до текущей позиции), такой, что для Утки в любой момент времени самой выгодной стратегией является его локальная максимизация, а для Лисы — локальная минимизация.

[EUgeneUS]

worm2

ИМХО, будет по-другому.

Утка двигается из центра. И максимизирует время нахождения у берега в предположении, что Лиса не изменит направление движения.
Тогда Утка движется в точку... где она встретится с лисой: лиса пробежала эту точку бесконечно малое время назад перед тем, как туда прибыла лиса.
Будет ли Утка двигаться к Лисе или от Лисы - зависит от соотношения скоростей. Причем при малой скорости Лисы Утка будет двигаться к ней, а при большой - от неё.
Но скорость Лисы можно ограничить снизу естественным образом: время движения Утки по наименьшему диаметру должно быть больше, чем время движения Лисы по полупериметру (иначе Утка всегда выигрывает - есть тривиальная выигрышная стратегия Утки).

[Dmitriy40]

Посчитал на бумажке вопрос о точке принятия решения для треугольного берега. Есть две принципиально разных ситуации:
1. Утка и лиса на серединах сторон по разные стороны от центра, утка плывёт вертикально вверх. Тут точка принятия решения попадает на берег и никакого выигрыша лисе не даёт. При этом $k=2\sqrt3+\dfrac{1+\sqrt{193+8\sqrt3}}{4} \approx 7{,}31$.
2. Утка и лиса в углах по разные стороны от центра, утка плывёт по диагонали. Тут удаление от центра $h=7-\sqrt{45}\approx 0{,}291796>2/k\approx 0{,}2726$ и $k>7{,}3371$. Если не ждать, то $k>7{,}427$.

Получается, для $k>7{,}427$ лисе ждать не обязательно и так везде успевает, для $7{,}3371<k<7{,}427$ надо подождать в углу, для $7{,}31<k<7{,}3371$ лисе ждать нельзя (и попадать в угол до выхода утки из безопасной области тоже).

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1290914 писал(а):

Утка двигается из центра. И максимизирует время нахождения у берега в предположении, что Лиса не изменит направление движения.

Ещё раз: текущее направление движения Лисы и скорость не несут для Утки полезной информации в силу отсутствия инерции, поскольку в следующее мгновение Лиса может поменять как направление так и скорость. Для обеих, полезную информацию для принятия решения о собственном движении несут только текущие координаты.

[Dmitriy40]

Более того, достаточно рассмотреть лишь случай с лисой на нижней стороне, всё прочие сводятся к нему поворотом. И тогда для лисы достаточно одной координаты.

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1290914 писал(а):

в предположении, что Лиса не изменит направление движения.

Это концептуально неверно утка должна исходить из преположения, что лиса движется оптимально...

-- 07.02.2018, 20:41 --

wrest в сообщении #1290931 писал(а):

Для обеих, полезную информацию для принятия решения о собственном движении несут только текущие координаты.

Полностью согласен (просто по определению фазового пространства)

[wrest]

Dmitriy40
Из нумерологии получается что $k\approx 4,6 \cdot \dfrac{P}{ 2\pi r}$ где $P$ - периметр озера, $r$ - радиус вписанной в озеро окружности.
Для треугольника дает $k \approx 7,61$ а для квадрата $k \approx 5,86$ Что в пределах 5% от истинных, если я правильно понимаю текущие изыскания $k$.

[EUgeneUS]

worm2 в сообщении #1290907 писал(а):

Вместо этого я бы высказал гипотезу о существовании "обобщённого угла" — неотрицательной функции от трёх аргументов: двух координат утки и одной обобщённой координаты Лисы (длины отрезка границы озера от некоторого начала до текущей позиции), такой, что для Утки в любой момент времени самой выгодной стратегией является его локальная максимизация, а для Лисы — локальная минимизация.

К этому и хочется свести.
Гипотеза заключалась в том, что утке для локальной максимизации достаточно анализировать положение лисы и направление её движения. Без предположений о дальнейших шагах лисы.

[Dmitriy40]

И без направления движения, лишь координаты.

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1291078 писал(а):

И без направления движения, лишь координаты.

Тогда утке обязательно требуется "прозревать" стратегию лисы.

[grizzly]

EUgeneUS
Что-то в Вашей логике не так. Нас может интересовать только положение на карте, никак не направления и не стратегии. Это обычная игра, иначе она теряет смысл.
В шахматах тоже достаточно иметь положение на доске, чтобы сделать оптимальный ход. Совсем не важно, знаем мы стратегию соперника или кто как ходил раньше (последнее -- за вычетом двух-трёх специфических правил).

[pogulyat_vyshel]

Эк сколько таки понаписали
Дифференциальные игры преследования\убегания. Стандартная задача теории управления.

[grizzly]

pogulyat_vyshel в сообщении #1291094 писал(а):

Стандартная задача теории управления.

Является ли стандартным примерно такой ответ этой теории:

Л.С. Понтрягин в своей работе 1988 г. писал(а):

При такой идеализации [когда стратегии зависят только от координат и существует оптимальная стратегия за лису и за утку -- grizzly] задача математически становится весьма определенной, она заключается в нахождении функций $u(x, y)$ и $v(x, y)$, называемых оптимальными стратегиями, но именно эта определенность чрезвычайно затрудняет ее решение.

Если это так (и, тем более, если не так), то развейте, пожалуйста, немного Вашу мысль в более практическом направлении. Или посоветуйте более подходящие источники.

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1291094 писал(а):

Стандартная задача теории управления.

Антогонистические и кооперативные игры - немного разные вещи
А ещё, у нас терминальная поверхность не гладкая.