Олимпиадная задачка для 9 класса.

[Skeptic]

Упорядочим модули чисел по убыванию:

$$|a|>|b|>|c|>|d|>|e|$$

Предположим $a<0$. Это даст четыре отрицательные суммы. Пять отрицательных сумм возможны только при $d<0$. Таким образом, при равенстве положительных и отрицательных сумм получаем $|a<0|>|b>0|>|c>0|>|d<0|$.
Знак $e$ на число отрицательных (положительных) произведений не влияет.
Аналогичный результат получится при $a>0$.

[ludwig51]

yan01 в сообщении #1282192 писал(а):

(но вопрос в другом: как их корректно составлять? Ведь нам неизвестно, какие именно суммы больше нуля, а какие меньше; мы только знаем их количество.).

Выбирайте произвольно из вашей таблицы 5 положительных сумм и 5 отрицательных. На результат произвольный выбор сумм не повлияет.
И решайте попарно алгебраические неравенства.
И в результате 4 шагов найдете знак чисел от $a$ до $e$
Одно из чисел может оказаться произвольным, то есть или положительным, или отрицательным. На результат это так же не повлияет. Прочитайте внимательно мой предпоследний пост. Не обращайте внимание на мою ошибочную формулировку о положительных и отрицательных неравенствах. Я имел ввиду знак сумм.

[yan01]

Вопроса сразу два:

Skeptic в сообщении #1282368 писал(а):

Упорядочим модули чисел по убыванию:

$$|a|>|b|>|c|>|d|>|e|$$

1. Зачем вы упорядочиваете модули чисел по убыванию именно в таком порядке? Ведь необязательно, что именно $\left\lvert{a}\right\rvert > \left\lvert{b}\right\rvert$ и $\left\lvert{b}\right\rvert > \left\lvert{c}\right\rvert$.

ludwig51 в сообщении #1282370 писал(а):

Выбирайте произвольно из вашей таблицы 5 положительных сумм и 5 отрицательных. На результат произвольный выбор сумм не повлияет.

2. Почему не повлияет? Как доказать это??

[provincialka]

yan01 в сообщении #1282373 писал(а):

Зачем вы упорядочиваете модули чисел по убыванию именно в таком порядке?

В каком "в таком"? У вас есть пять чисел, и вы называете их $a,b,c,d,e$ так, чтобы выполнялись неравенства. То есть наибольшее (по модулю) называете $a$, следующее -- $b$ и т.д.

[svv]

Учитель: "Предположим, что $x$ есть число овец в задаче". Ученик: "Но, господин учитель, предположим, что $x$ не есть число овец".
(Литтлвуд, Математическая смесь)

[yan01]

provincialka в сообщении #1282374 писал(а):

В каком "в таком"? У вас есть пять чисел, и вы называете их $a,b,c,d,e$ так, чтобы выполнялись неравенства. То есть наибольшее (по модулю) называете $a$, следующее -- $b$ и т.д.

А зачем вообще эти упорядочивания? Ведь в условии не сказано, что числа a, b, c, d, e каждый больше последующего.

[provincialka]

yan01
Ну, не хотите -- не упорядочивайте! Решайте по-другому. Но так -- тоже можно. Математики называют такой приём "не уменьшая общности". Потому что неупорядоченный набор отличается от упорядоченного только перестановкой имен. А уж от них решение точно не не зависит! (в данной задаче)

Если вам мешает, что в условии и в упорядоченной пятерке числа обозначены одинаково -- выберите другие названия. Например, "обозначим заданные числа $a,b,c,d,e$ как $p,q,r,s,t$ так, что $|p|>|q|>|r|>|s|>|t|$"

[yan01]

provincialka в сообщении #1282379 писал(а):

Ну, не хотите -- не упорядочивайте! Решайте по-другому. Но так -- тоже можно. Математики называют такой приём "не уменьшая общности". Потому что неупорядоченный набор отличается от упорядоченного только перестановкой имен. А уж от них решение точно не не зависит! (в данной задаче)

Если вам мешает, что в условии и в упорядоченной пятерке числа обозначены одинаково -- выберите другие названия. Например, "обозначим заданные числа $a,b,c,d,e$ как $p,q,r,s,t$ так, что $|p|>|q|>|r|>|s|>|t|$"

Как — по-другому?

-- 08.01.2018, 16:35 --

svv в сообщении #1282376 писал(а):

Учитель: "Предположим, что $x$ есть число овец в задаче". Ученик: "Но, господин учитель, предположим, что $x$ не есть число овец".
(Литтлвуд, Математическая смесь)

Что вы этим имели в виду?

[ludwig51]

yan01 в сообщении #1282373 писал(а):

Почему не повлияет? Как доказать это??

Прочитайте условие задачи.

[provincialka]

yan01 в сообщении #1282382 писал(а):

Как — по-другому?

А это уж вам виднее. Да и были в теме разные советы. Лично я -- большая поклонница всяческих упорядочений! Про них вам и ответила, не более того.

[ludwig51]

Skeptic в сообщении #1282368 писал(а):

Аналогичный результат получится при $a>0$.

Не получится.Надо изменить знаки у чисел $b,c,d $ на противоположные.

[svv]

yan01
Считайте, что я просто рассказал математический анекдот. Он имеет некоторое отношение.

[B@R5uk]

Сдаётся мне завёлся тут у нас толстый зелёный и голодный... Будем подкармливать?

[Chen1]

eugensk в сообщении #1282318 писал(а):

Chen1 в сообщении #1282232 писал(а):

Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю, но такого не может быть, т. к. будет только 4 положительных суммы => должно быть ещё одно положительное число большее по модулю одного из отрицательных. Тоже самое про отрицательные числа, их не может быть меньше 2. Т. е. у нас получается 2 варианта. Дальше сами.

Попытался "дальше сам", и не смог.

"Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю"

это можно понять, как
Есть число такое, что оно положительно и больше всех по модулю.
или как
Есть ровно одно число такое, что оно положительно и больше всех по модулю.
или как
Есть ровно одно положительное число, и оно больше всех по модулю.

Отрицание ни к одному из них не похоже на "=> должно быть ещё одно положительное число большее по модулю одного из отрицательных".
Хорошим упражнением будет их выписать.

Выражение "Допустим, у нас одно положительное число больше всех по модулю", предполагает существование другого (других) положительных чисел и действительно непонятно больше чего оно по модулю, а вот предположение "Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю", допускает существование единственного положительного числа. Таким образом, что бы было понятно, выражение "Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю", можно читать как "Допустим, у нас только одно положительное число, и оно большее по модулю остальных четырёх".

[eugensk]

Chen1 в сообщении #1282482 писал(а):

Выражение "Допустим, у нас одно положительное число больше всех по модулю", предполагает существование другого (других) положительных чисел и действительно непонятно больше чего оно по модулю, а вот предположение "Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю", допускает существование единственного положительного числа. Таким образом, что бы было понятно, выражение "Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю", можно читать как "Допустим, у нас только одно положительное число, и оно большее по модулю остальных четырёх".

Хорошо, и допущение неверно, значит верно его отрицание.
Отрицанием будет "Нет ни одного положительного числа, или есть только одно положительное число, и оно по модулю не больше остальных четырех, или есть несколько положительных чисел".
Я так понимаю, вы отбрасываете часть возможностей, потому что они не могут осуществляться, но всё равно непонятно, как получилось то, что у вас. Попробуйте довести своё решение до конца, и увидите как множатся варианты.