Олимпиадная задачка для 9 класса.

[ewert]

B@R5uk в сообщении #1282046 писал(а):

В частности, например, если первые два числа положительны, то не может быть больше 3 отрицательных сумм

Не может быть меньше 3 отрицательных сумм. И не может быть больше 9.

Т.е. количества положительных и отрицательных сумм варьируются в довольно широких пределах при любых количествах положительных и отрицательных чисел (если, конечно, есть хоть по одному каждого знака). А вот количество положительных/отрицательных произведений, наоборот, однозначно определяется только количеством положительных и отрицательных чисел, причём по очень простой формуле (хотя для пяти чисел его проще находить перебором).

Поэтому единственно возможный способ решения -- это перебрать допустимые количества чисел каждого знака и для каждого варианта тупо посчитать количества положительных и отрицательных произведений. Для этого, конечно, отбраковать заведомо невозможные распределения знаков между числами -- такие, при которых минимально возможное количество или положительных, или отрицательных сумм болеше половины всех сумм.

[ludwig51]

Shadow в сообщении #1282039 писал(а):

дальше перемудрили. И что значит "неравенство положительное" или отрицательное? Может быть сумма положительная? Вобщем, топикстартеру и без того сложно.

>0 положительное.
<0 отрицательное.
Задача на сообразительность.
Примеры я приводить не имею право.
Только один пример даст прямое решение задачи, что запрещено.

[B@R5uk]

ewert в сообщении #1282062 писал(а):

Не может быть меньше 3 отрицательных сумм.

С чего это вдруг!? Если все исходные числа положительные, то и все суммы будут положительные. И отрицательных сумм будет 0, то бишь меньше 3. Другое дело, что это под условие не походит, как и случай с тремя отрицательными суммами.

Или вы имели в виду, что если первые два бОльших по модулю числа положительны, то не может быть больше 3 отрицательных сумм? Тогда да, я с вами согласен. Тьфу! Запутали меня. Это утверждение вы и оспорили, в чём были не правы.

[ewert]

B@R5uk в сообщении #1282091 писал(а):

С чего это вдруг!? Если все исходные числа положительные,

Ну, видите ли, я понял Ваше "первые два числа положительны" как "ровно два числа положительны". И в любом случае вторая формулировка даёт частный случай первой. А если положительны ровно два числа и отрицательны ровно три, то минимально возможное количество отрицательных сумм есть $C_3^2=3$ -- это когда отрицательными являются только суммы отрицательных чисел. Максимальное же количество отрицательных сумм получится при минимально возможном количестве положительных сумм, т.е. при одной положительной. Оба варианта возможны, и возможен любой из промежуточных вариантов.

[B@R5uk]

ewert в сообщении #1282096 писал(а):

Максимальное же количество отрицательных сумм получится при минимально возможном количестве положительных сумм, т.е. при одной положительной.

Вы пропустили моё предложение отсортировать все числа по убыванию модуля. В этом случае положительности первых двух (самых больших) достаточно, чтобы 7 сумм из 10 были положительны.

Ещё одно забавное наблюдение придумалось: положительность/отрицательность наименьшего по модулю числа ни на что не влияет. В смысле на знак сумм не влияет, на произведения, разумеется влияет.

[ewert]

B@R5uk в сообщении #1282107 писал(а):

Вы пропустили моё предложение отсортировать все числа по убыванию модуля.

Вы пропустили моё подразумевавшееся предложение вообще ничего не сортировать. Достаточно знать, что минимально и максимально возможные количества положительных сумм однозначно и очень легко определяются количествами положительных и отрицательных чисел, и что любые промежуточные количества положительных сумм при этом также возможны.

Ведь про абсолютные значения этих чисел в условии ни гу-гу. Следовательно, единственная информация, которую можно использовать для решения -- именно минимально и максимально возможных количествах сумм.

[Shadow]

Я думаю, что задача двух страниц обсуждения не стоит. Для решения вполне достаточно, что среди этих пяти чисел или 2 положительные и 3 отрицательные, или 3 положительные и 2 отрицательные. А произведение двух веществееных чисел отрицательно, когда...

UPD мой пост - дубль ewert

[B@R5uk]

ewert в сообщении #1282164 писал(а):

Следовательно, единственная информация, которую можно использовать для решения...

Не согласен. Задача абсолютно симметрична относительно перестановок чисел. А решать с отсортированным рядом проще и нагляднее. Так что мой голос за упорядочивание чисел.

Shadow в сообщении #1282169 писал(а):

задача двух страниц обсуждения не стоит

Лишь бы автору было интересно.

[Shadow]

ewert в сообщении #1282173 писал(а):

Вообще-то тут есть один лирический вопрос. Да, для нахождения ответа этого достаточно. Но: подразумевает ли условие задачки ещё и доказательство её корректности? т.е. доказательство того, что указанные количества отрицательных и положительных сумм вообще возможны?...

AАбсолютно

$\{-5,-2,1,3,4\}$

конечно, все можно умножить на $-1$

[ewert]

Shadow в сообщении #1282169 писал(а):

Для решения вполне достаточно, что среди этих пяти чисел или 2 положительные и 3 отрицательные, или 3 положительные и 2 отрицательные.

Вообще-то тут есть один лирический вопрос. Да, для нахождения ответа этого достаточно. Но: подразумевает ли условие задачки ещё и доказательство её корректности? т.е. доказательство того, что указанные количества отрицательных и положительных сумм вообще возможны?...

B@R5uk в сообщении #1282172 писал(а):

А решать с отсортированным рядом проще и нагляднее.

Да, мне тоже сперва так почудилось. Но потом выяснилось, что это абсолютно бесполезно.

Достаточно того банального соображения, что каждому отрицательному числу разрешается быть меньше по модулю, чем каждому положительному, и наоборот.

-- Пн янв 08, 2018 00:38:15 --

Shadow в сообщении #1282175 писал(а):

AАбсолютно

$\{-5,-2,1,3,4\}$

ААА! Не нужно конкретных примеров.

(извините за машину времени)

[yan01]

Благодарю всех за помощь. У меня, исходя из ваших рассуждений, возникает вопрос:
а можно ли решать эту задачу без использования конкретных чисел? Т. е. просто попытаться без подбора возможного кол-ва положит./отриц. чисел, при которых 5 их попарных сумм будут больше нуля, оставшиеся пять — меньше, прийти к этому путем алгебраических преобразований неравенств (но вопрос в другом: как их корректно составлять? Ведь нам неизвестно, какие именно суммы больше нуля, а какие меньше; мы только знаем их количество.).

[ewert]

yan01 в сообщении #1282192 писал(а):

прийти к этому путем алгебраических преобразований неравенств (но вопрос в другом: как их корректно составлять?

-- никак невозможно. Слишком велик произвол в этих неравенствах.

Исходные условия задачи (этой конкретно) фиксируют (в определённых пределах) лишь количества положительных и отрицательных членов. И ровно ничего более.

[Chen1]

Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю, но такого не может быть, т. к. будет только 4 положительных суммы => должно быть ещё одно положительное число большее по модулю одного из отрицательных. Тоже самое про отрицательные числа, их не может быть меньше 2. Т. е. у нас получается 2 варианта. Дальше сами.

[Shadow]

yan01 в сообщении #1282192 писал(а):

прийти к этому путем алгебраических преобразований неравенств

Путем преобразованих ваших неравенств вряд ли к чему-то толковому можно прийти, но если очень надо, то пожалуйста.

$\\0<a_3<a_4\le a_5\\a_1\in(\cdots;\cdots)\\a_2\in(\cdots;\cdots)$

и

$\\a_1\le a_2<a_3<0\\a_4\in(\cdots;\cdots)\\a_5\in(\cdots;\cdots)$

с точками справитесь, надеюсь.

[eugensk]

Chen1 в сообщении #1282232 писал(а):

Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю, но такого не может быть, т. к. будет только 4 положительных суммы => должно быть ещё одно положительное число большее по модулю одного из отрицательных. Тоже самое про отрицательные числа, их не может быть меньше 2. Т. е. у нас получается 2 варианта. Дальше сами.

Попытался "дальше сам", и не смог.

"Допустим, у нас одно положительное число, большее всех по модулю"

это можно понять, как
Есть число такое, что оно положительно и больше всех по модулю.
или как
Есть ровно одно число такое, что оно положительно и больше всех по модулю.
или как
Есть ровно одно положительное число, и оно больше всех по модулю.

Отрицание ни к одному из них не похоже на "=> должно быть ещё одно положительное число большее по модулю одного из отрицательных".
Хорошим упражнением будет их выписать.