Счетность множества автоморфизмов

[gogoshik]

Прошу проверить и подсказать, плиз.
Упражнение. Счетно ли множество автоморфизмов $\mathbb{N}$?
Ответ. Нет. Множество автоморфизмов $\mathbb{N} $ имеет мощность континуум. Известно, что автоморфизмы множества можно воспринимать как перестановки его элементов. Множество перестановок натурального ряда имеет континуальную мощность. Вопрос в том, как это доказать? Думаю, что нужно закодировать каждую перестановку в виде последовательности нулей и единиц. Потом выписать все последовательности в виде бесконечного ряда. И воспользоваться теоремой Кантора.

[iifat]

Если рассматривать $\mathbb{N}$ как обычное множество, незачем кодировать единицами — теорема Кантора вполне справится. А вот если брать с операциями, может выйти, что автоморфизм вообще один-единственный, имхо.

[gogoshik]

Спасибо, iifat. По контексту учебника, думаю, что в данной задаче операции на множестве не рассматриваются.

[Someone]

gogoshik в сообщении #1280304 писал(а):

Счетно ли множество автоморфизмов $\mathbb{N}$?

Множество автоморфизмов натурального ряда состоит из одного элемента — тождественного отображения. Если имеются в виду биекции $\mathbb N\to\mathbb N$, то их, конечно, континуум штук.

Почитайте также тему "Найти число эпиморфизмов между конечными множествами". Обратите внимание, что смысл алгебраических и категорных терминов "гомоморфизм", "морфизм", "эпиморфизм", "мономорфизм", "изоморфизм" отличается от смысла теоретико-множественных терминов "отображение", "функция", "сюръекция", "инъекция", "биекция". Например, эпиморфизм вовсе не обязан быть сюръекцией (а в теории категорий он не обязан быть и отображением).

gogoshik в сообщении #1280304 писал(а):

Думаю, что нужно закодировать каждую перестановку в виде последовательности нулей и единиц.

Не нужно. Проще указать какое-нибудь семейство биекций, которое заведомо имеет мощность $2^{\aleph_0}$. Тогда множество всех биекций имеет мощность не меньше.