Почему сложение и умножение так похожи?

[Xaositect]

А ассоциативность проще доказывается, если заметить, что $ab = f_a(b) = f_a(f_b(u))$.

[vlad9486]

Первое: $f_a(f_b(c + 1)) = f_a(f_b(c) + f_b(1)) = f_a(f_b(c) + b) = f_a(f_b(c)) + f_a(b)$, с другой стороны $f_{c + 1}(f_b(a)) = f_c(f_b(a)) + f_1(f_b(a)) = f_c(f_b(a)) + f_b(a) = f_c(f_b(a)) + f_a(b)$.
Второе: $f_a(f_{b + 1}(c)) = f_a(f_b(c) + f_1(c)) = f_a(f_b(c) + c) = f_a(f_b(c)) + f_a(c)$, с другой стороны $f_c(f_{b + 1}(a)) = f_c(f_b(a) + f_1(a)) = f_c(f_b(a) + a) = f_c(f_b(a)) + f_c(a) = f_c(f_b(a)) + f_a(c)$.

-- 27.12.2017, 22:01 --

Xaositect в сообщении #1279279 писал(а):

А ассоциативность проще доказывается, если заметить, что $ab = f_a(b) = f_a(f_b(u))$.

Я об этом думал, но что-то не помогло.

-- 27.12.2017, 22:08 --

Интересное наблюдение с степенями:
$a^{b + c} = a^b \cdot a^c$
$(b \cdot c)^a = b^a \cdot c^a$
Может быть банальность, но это дистрибутивность, причем некоммутативность степенной функции обеспечивается отличием сложения от умножения, если бы коммутативность, то умножение нужно сменить на сложение.
И еще
$(a^b)^c = a^{b \cdot c}$
если бы ассоциативность, то умножение нужно было бы менять на степень, опять.

[arseniiv]

А, кстати, степени забыл. Возведение в степень получается аналогично умножению из морфизмов из группы $(\mathbb Z,+)$ или моноида $(\mathbb Z_{\geqslant0},+)$ или полугруппы $(\mathbb Z_{>0},+)$ в некую группу/моноид/полугруппу $A$, операцию которой мы называем умножением*, и определить $a^n \equiv f_a(n)$, где $f_a$ — единственный морфизм, переводящий 1 в $a\in A$. Если в качестве $A$ взять мультипликативный моноид $(\mathbb Z\setminus\{0\},\cdot)$, будем иметь возведение в неотрицательную степень для ненулевых целых чисел. В этом случае и на ноль можно операцию перенести; останется неопределённым $0^0$, который есть некоторый смысл, вопреки существующему холивару, считать равным 1, как и для остальных оснований, а не 0, как и для остальных показателей, но это уже другая история, и тут об этом говорить не будем. В других случаях с нулём всё не так гладко: возьмём $\mathbb Q$, где ненулевые элементы составляют уже группу по умножению, и где мы потому можем ввести отрицательные степени — так ноль в них уже ни в какую не возвести!

Это пока максимум целочисленная степень; с рациональными уже возникают проблемы вне $\mathbb R_{>0}$, да и, к тому же, сначала нужно это самое $\mathbb R_{>0}$ ввести будет.

* А умножение на целое, как делалось выше для целых, но можно ровно так же провернуть и для других групп etc., определяется для операций, которые больше смахивают на сложение.