Группы в теории элементарных частиц

[Metford]

(Оффтоп)

Odysseus в сообщении #1219413 писал(а):

Мне, например, курсы общей физики никогда не были понятны, все время было ощущение некоторого обмана (если, конечно, учить их серьезно, а не просто читать как художественную или мотивирующую литературу).

Если хотите, можем обсудить эту тему подробнее. Только уже не здесь, а в отдельной теме в "Вопросах преподавания". И так уж тема совершенно перестала соответствовать названию - а тут явный оффтоп пойдёт уже.
Здесь же у нас вроде бы особых разногласий нет.

[Munin]

Metford в сообщении #1219402 писал(а):

Мне представляется, что читать Боголюбова как фактически первую последовательную книгу по этому предмету лучше не нужно.

Наверное, соглашусь, но я её "вбрасывал" в уже довольно большую подборку: Хелзен-Мартин, Бьёркен-Дрелл, тот же Фейнман.

Odysseus в сообщении #1219404 писал(а):

А чем она хорошая? Это урезанный вариант "толстой" книги

Не-а. Верно только то, что кто одолеет "толстую", тому "тонкая" не нужна.

Odysseus в сообщении #1219404 писал(а):

Это все равно хвалить что учебник по матанализу за то, что он более сжатый и с частью пропущенных доказательств.

Для быстрого знакомства, и чтобы не терять интереса, занудство и вправду стоит пропускать, и срезать углы.

[Attendant]

Metford в сообщении #1219260 писал(а):

....У нас тут разговор начался с калибровочных теорий. Это очень далеко от первых шагов в изучении теории.... Ландау - не самый простой учебник, но, видимо, придётся прорываться (после чтения Фейнмана можно заняться, если этого ещё нет - или параллельно ему, если получится). В случае чего Вы знаете, где можно задавать вопросы

Уважаемый Metford,

Объем литературы, который мне посоветовали весьма велик. Скажите (в самом обобщенном виде) можно ли сказать, что "инвариантность" в понимании "классической" физики (до СТО) - это пространственно-временная инвариантность, а "калибровочная инвариантность" - это внутренняя симметрия, такая, например, как сохранение заряда и/или спина?
Еще вопрос, если Вас не затруднит - общие знания по интегральному/дифференциальному исчислению оказываются недостаточными, для понимания указанной литературы. Что посоветуете изучить для понимая методов расчета лагранжианов?

[Metford]

Attendant в сообщении #1220023 писал(а):

Объем литературы, который мне посоветовали весьма велик.

Ну, так и теория весьма сложная. Объективно сложная.

Attendant в сообщении #1220023 писал(а):

можно ли сказать, что "инвариантность" в понимании "классической" физики (до СТО) - это пространственно-временная инвариантность, а "калибровочная инвариантность" - это внутренняя симметрия, такая, например, как сохранение заряда и/или спина?

Вы знаете, до СТО, насколько сейчас могу сообразить, свойствами симметрии таким образом, как сейчас, не пользовались. Но это так ремарка на полях.
По сути. Важно скорее то, о какой симметрии - а точнее преобразовании симметрии - идёт речь: глобальной или локальной. Если симметрия глобальная, т.е. не зависящая от пространственно-временной точки, и лагранжиан её допускает, то речь идёт об "обычной" инвариантности. Если же симметрия локальная, то неизбежно возникают сложности с производными, входящими в лагранжиан - приходится использовать калибровочные поля со своим законом преобразования.
Вот вам пример т.н. $U(1)$ симметрии: преобразование поля (скалярного для простоты) $\varphi\to\varphi e^{i\alpha}$. Если $\alpha$ - константа, то преобразование симметрии глобальное. Из инвариантности лагранжиана относительно него следует сохранение электрического заряда. Если же $\alpha=\alpha(x)$, то преобразование локальное - приходится вводить в теорию векторное калибровочное поле - 4-потенциал электромагнитного поля.

Attendant в сообщении #1220023 писал(а):

Что посоветуете изучить для понимая методов расчета лагранжианов?

К сожалению, для понимания КТП много чего нужно добирать. Смотрите. Во-первых, видите, как много разговоров о симметрии идёт? И это прямо сразу. Это говорит о необходимости знания основ теории групп. Групп Ли преимущественно. Особенно хорошо нужно представлять себе теорию групп трёхмерных вращений и Лоренца. На этот счёт есть книга Гельфанда, Минлоса и Шапиро "Представления группы вращений и группы Лоренца".
Во-вторых, очень важную роль играет понятие функции Грина. Исходить здесь нужно из её чисто математического понимания - это в любом нормальном курсе уравнений в частных производных есть.
В-третьих, с функциями Грина связан вопрос об умении вычислять интегралы в комплексной плоскости с выбором обхода полюсов. Это прямо в ТФКП. Т.е. нужно владеть техникой вычисления контурных интегралов в комплексной плоскости.
Кстати, не упоминаю даже основы вариационного исчисления - нужно ведь из лагранжиана уравнения движения получать!
Это вот первое, что в голову приходит. О более сложных вещах не говорю: чтобы разобраться в основах должно хватить перечисленного. Оптимизма такой список не добавит, но Вы должны хорошо представлять себе, что даже только войти в эту теорию - не так просто. Придётся потрудиться. Но оно того стоит

[Cos(x-pi/2)]

Attendant
Из предыдущего обсуждения не ясно, знакомы ли Вы с обычной (нерелятивистской) квантовой механикой. Если нет и если позволите, то добавлю ещё один совет: до изучения квантовой теории поля необходимо изучить квантовую механику (КМ).

И тогда, в частности, начальное представление о "калибровочной инвариантности" легко составить себе, рассмотрев в КМ инвариантность (неизменность формы) уравнения Шрёдингера для волновой функции $\psi(\vec{r},t)$ одной частицы, для простоты бесспиновой, при преобразованиях фазы волновой функции. Здесь всё получается просто, так как о преобразованиях Лоренца и лоренц-инвариантности в нерелятивиской КМ речи нет. Достаточно начать рассуждение даже с у. Ш. свободной частицы, т.е. движущейся в отсутствие всякого внешнего поля (и вообще, считайте, что мы в нашем ученическом рассуждении ещё не ввели в КМ понятие "внешнее поле").

(Рассуждение и небольшое вычислительное упражнение)

У. Ш. свободной частицы гласит:

$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\psi=\dfrac{(-i\hbar \nabla)^2}{2m} \psi \, .$

Очевидно, что это уравнение инвариантно к сдвигу фазы волновой функции на произвольную константу $\alpha$ (можно написать её с плюсом или с минусом, это не важно, раз она произвольная). Т. е. если мы подставим в это у. Ш. $\psi(\vec{r},t)=e^{-i\alpha}\bar{\psi}(\vec{r},t),$ то для преобразованной так волновой функции, $\bar{\psi}(\vec{r},t)=e^{i\alpha}\psi(\vec{r},t),$ получим то же самое у. Ш.

Посмотрим теперь, что получится, если дополнить принципы КМ требованием инвариантности у. Ш. к локальным изменениям фазы, т.е. к сдвигам фазы не на константу, а на произвольную функцию $\alpha(\vec{r},t).$ Подставив в у. Ш. $\psi=e^{-i\alpha}\bar{\psi},$ Вы обнаружите, что исходное уравнение не инвариантно к таким преобразовниям: оно изменило свою форму, превратившись в

$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\psi=\left ( \dfrac{(-i\hbar \nabla-\hbar \nabla \alpha)^2}{2m} -\hbar \dfrac{\partial \alpha}{\partial t}\right ) \psi \, .$

Отсюда видно, как надо модифицировать исходное уравнение, чтобы оно приобрело желаемую инвариантность своей формы. Надо ввести в игру слагамое к оператору $-i\hbar \nabla$ - некое векторное поле, и требовать, чтобы оно при замене $\psi$ на $\bar{\psi}=e^{i\alpha}\psi$ тоже изменялось, приобретало бы добавку $\hbar \nabla \alpha,$ компенсируя тем самым вклад от преобразования фазы волновой функции. И ещё надо ввести в игру некое скалярное поле, которое тоже должно изменяться при преобразовании фазы волновой функции и тем самым компенсировать вклад с $\partial \alpha / \partial t.$

В стандартных обозначениях результат оказывается вот какой. Вместо $\alpha$ удобнее вести речь о произвольной функции $f,$ введя обозначение $\alpha=fq/(\hbar c).$ Тогда инвариантное к указанным преобразованиям у. Ш. можно записать в виде:

$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\psi=\left ( \dfrac{(-i\hbar \nabla-(q/c)\vec{A})^2}{2m} +q \varphi \right ) \psi \, .$

Оно не меняет своей формы при замене $\psi,$ $\vec{A}$ и $\varphi$ на

$\bar \psi = e^{ifq/ \hbar c} \psi \, , \qquad \vec{\bar{A}}=\vec{A}+\nabla f \, , \qquad \bar{\varphi}=\varphi -\frac{1}{c} \frac{\partial f}{\partial t} \, .$

Эта замена и называется "калибровочным пребразованием" (в рассматриваемой нами ситуации).

Если такой заменой можно получить всюду $\vec{\bar{A}}=0, \, \bar{\varphi}=0,$ т. е. если введённые выше поля заданы в конкретной задаче так, что их можно устранить калибровочным преобразованием, то у. Ш. описывает всё ещё свободную частицу. Если же нельзя, то $\vec{A}$ и $\varphi$ интерпретируются как заданные внешние поля, действующие на частицу.

Их физическая интерпретация подсказывается, в частности, рассмотрением коммутатора гамильтониана с оператором координаты (в КМ коммутатор оператора с гамильтонианом даёт производную оператора по времени), и аналогичным вычислением второй производной оператора координаты по времени. Это довольно громоздкое упражнение, но зато в получающейся при этом формуле Эренфеста (квантовый "аналог" уравнения Ньютона) Вы увидите выражение, очень похожее на известную в классической физике "силу Лоренца", действующую на частицу с зарядом $q$ в электромагнитном поле с потенциалами $\vec{A}, \varphi.$ Можно поэтому сказать, что "принцип калибровочной инвариантности" даже в нерелятивистской КМ требует добавления электромагнитного поля в КМ, если оно почему-то ещё не было введено :)

[Munin]

Attendant в сообщении #1220023 писал(а):

Объем литературы, который мне посоветовали весьма велик.

Ну а вы хотите пройти путь в тысячу ли за один шаг? Не получится.

Attendant в сообщении #1220023 писал(а):

Скажите (в самом обобщенном виде) можно ли сказать, что "инвариантность" в понимании "классической" физики (до СТО) - это пространственно-временная инвариантность

Ни в коем случае.

Attendant в сообщении #1220023 писал(а):

Еще вопрос, если Вас не затруднит - общие знания по интегральному/дифференциальному исчислению оказываются недостаточными, для понимания указанной литературы. Что посоветуете изучить для понимая методов расчета лагранжианов?

Вообще в Фейнмане и Ландафшице даётся достаточно математических пояснений.
Если вам тяжело читать ЛЛ-2, то видимо, вы зря пропустили ЛЛ-1.

[Metford]

Кстати, обращу внимание на то, что преобразование потенциалов, к которому пришёл Cos(x-pi/2), в точности совпадает с тем, которое привёл я выше из классических соображений. Всё согласовано

[Attendant]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1220096 писал(а):

Из предыдущего обсуждения не ясно, знакомы ли Вы с обычной (нерелятивистской) квантовой механикой. Если нет и если позволите, то добавлю ещё один совет: до изучения квантовой теории поля необходимо изучить квантовую механику (КМ).

И тогда, в частности, начальное представление о "калибровочной инвариантности" легко составить себе, рассмотрев в КМ инвариантность (неизменность формы) уравнения Шрёдингера для волновой функции $\psi(\vec{r},t)$ одной частицы, для простоты бесспиновой, при преобразованиях фазы волновой функции.

Очевидно, что это уравнение инвариантно к сдвигу фазы волновой функции на произвольную константу

Посмотрим теперь, что получится, если дополнить принципы КМ требованием инвариантности у. Ш. к локальным изменениям фазы, т.е. к сдвигам фазы не на константу, а на произвольную функцию
Надо ввести в игру слагамое к оператору - некое векторное поле, и требовать, чтобы оно при замене $\psi$ на $\bar{\psi}=e^{i\alpha}\psi$ тоже изменялось, приобретало бы добавку $\hbar \nabla \alpha,$ компенсируя тем самым вклад от преобразования фазы волновой функции. И ещё надо ввести в игру некое скалярное поле, которое тоже должно изменяться при преобразовании фазы волновой функции и тем самым компенсировать вклад с $\partial \alpha / \partial t.$

Эта замена и называется "калибровочным пребразованием" (в рассматриваемой нами ситуации).

Спасибо! с нерелятивистской квантовой механикой знаком по 3 т. Савельева и учебнику Иродова. Но Ваши выкладки в целом понятны. Когда показан весь путь вычислений - все становится яснее. Правда сразу возник вопрос - если сдвиг фазы волновой функции происходит не по константе, а по некоторой функции, это значит, что на частицу действует (некоторое) поле, влияние которого описывается этой функцией. Фактически мы ввели добавление в у.Ш., чтобы учесть влияние этого поля.
Взаимодействие этого поля (с частицей) совпадает с тем взаимодействием, которое оказывает ЭМ поле на заряженную частицу, двигающуюся в этом поле. Фактически ... э-э-э.. оказывается, что ЭМ поле и есть калибровочное для определения положения частицы при описании ее волновой функцией? Т.е. все остальные взаимодействия тоже могут быть описаны как калибровочные?

-- 31.05.2017, 11:37 --

Metford в сообщении #1220076 писал(а):

Смотрите. Во-первых, видите, как много разговоров о симметрии идёт? И это прямо сразу.

именно, именно! а в КМ как-то разговор о группах симметрии и не шел
т.е. вроде логично предположить, что описание КТП возникает от квантово-механического описания состояния частиц... а тут ООООООПС и нет! сразу идет речь о группах симметрий
.... каких-то /заплакал/

-- 31.05.2017, 11:46 --

Munin в сообщении #1220142 писал(а):

Attendant в сообщении #1220023 писал(а):

Скажите (в самом обобщенном виде) можно ли сказать, что "инвариантность" в понимании "классической" физики (до СТО) - это пространственно-временная инвариантность

Ни в коем случае.

Так-так.
Конечно, я не могу оставить этот ответ без вопроса.
А какая еще инвариантность рассматривалась в физике до начала XX века?

[Munin]

Attendant в сообщении #1220405 писал(а):

Спасибо! с нерелятивистской квантовой механикой знаком по 3 т. Савельева и учебнику Иродова.

Надо по серьёзному учебнику. ЛЛ-3 или этот уровень.

Attendant в сообщении #1220405 писал(а):

именно, именно! а в КМ как-то разговор о группах симметрии и не шел :shock:

Шёл. На уровне ЛЛ-3, а не "Савельев, Иродов и другие детские книжки с картинками".

Но там он шёл "с обратной стороны". Типа "рассмотрим такую-то квантовую систему, ищем её собственные векторы... а система имеет симметрию, значит, собственные векторы удовлетворяют этой симметрии, и образуют группу! ну надо же!". То есть:
- изначально можно действовать, как будто симметрии нет, как будто мы про неё не ведаем, и даже добраться до конечного результата (полного решения системы);
- заранее зная о симметриях, мы себе сильно облегчаем математическую задачу;
- потом уже, глядя на решение, мы увидим, что симметрии всё равно выплывут наружу;
- обсуждение симметрий, групп, представлений - это всё "мета-свойства", обсуждение свойств решений, а не получения решений самих по себе.

Примерно так физика жила-была примерно до середины 50-х годов (когда уже открыла множество элементарных частиц и превращений, но пока ещё не разобралась в этом "зоопарке"). А потом стали симметрии искать осознанно, в теориях их ставить в первую очередь, выносить во главу угла, и достигли успеха.

Attendant в сообщении #1220405 писал(а):

Так-так.
Конечно, я не могу оставить этот ответ без вопроса.
А какая еще инвариантность рассматривалась в физике до начала XX века?

Ну, до начала 20 века - даже пространственно-временная не рассматривалась :-) СТО датируется 1905 годом всё-таки.

Но в классической физике довольно много симметрий в кристаллах. На атомном уровне они становятся симметриями кристаллической решётки, "раскрашенной" типами атомов, зарядами и т. п.

Есть несколько примеров особенных симметрий в механике. Например, ньютоновская задача двух тел - движение точки в ньютоновском потенциале - обладает кроме пространственных ещё "чудесной" симметрией, которую выражает 3-й закон Кеплера: движения по орбитам с одинаковыми большими полуосями имеет одинаковые периоды. Движение в 3-мерном гармоническом потенциале вообще имеет равные периоды, какими бы ни было соотношение полуосей и большая полуось.

Вспоминаем масштабные соотношения - например, в механике сплошной среды. В уравнениях математической физики. Везде, где есть подобие решений - там есть и соответствующая симметрия.

Больше не припомню, но наверняка, подскажут и другие.

-- 31.05.2017 15:38:20 --

Attendant в сообщении #1220405 писал(а):

Правда сразу возник вопрос - если сдвиг фазы волновой функции происходит не по константе, а по некоторой функции, это значит, что на частицу действует (некоторое) поле, влияние которого описывается этой функцией. Фактически мы ввели добавление в у.Ш., чтобы учесть влияние этого поля.
Взаимодействие этого поля (с частицей) совпадает с тем взаимодействием, которое оказывает ЭМ поле на заряженную частицу, двигающуюся в этом поле. Фактически ... э-э-э.. оказывается, что ЭМ поле и есть калибровочное для определения положения частицы при описании ее волновой функцией? Т.е. все остальные взаимодействия тоже могут быть описаны как калибровочные?

Этот вопрос очень большой и разнообразный. Правильный ответ на него такой: "Да. Нет. Не совсем."

Во-первых, "да". Все известные фундаментальные взаимодействия ("четыре фундаментальных взаимодействия", "четыре фундаментальные силы природы") уже описаны как калибровочные. Успех достигнут.

Во-вторых, "нет". Есть взаимодействия, не являющиеся калибровочными, например, сильное ядерное взаимодействие - за счёт которого в ядрах взаимодействуют протоны и нейтроны. Из фундаментальных полей - это поле Хиггса.

В-третьих, "не совсем". А что такое "взаимодействие" вообще? В классической физике мир представлялся как частицы + взаимодействия между ними - электромагнитное, гравитационное. Они же поля. Но в квантовой физике оказалось, что частицы приобретают свойства полей, а поля - свойства частиц. Слово "взаимодействие" потеряло чёткий смысл.

На обывательском уровне, можно считать, что "взаимодействия" - это то, что на фундаментальном уровне образуется полями бозонов (полями с целым спином), а "вещество" - полями фермионов (с полуцелым спином), хотя это ужасное упрощение.

В теоретической физике "взаимодействием" стало принято называть не какое-то поле, а само наличие связи между разными полями: например, поле электронов и поле фотонов взаимодействуют между собой.

Если же говорить о "взаимодействии" в старом смысле слова (как о "фундаментальных взаимодействиях"), то в теоретической физике постепенно распространилось применение этого слова просто как синонима калибровочного поля.

[Metford]

Attendant в сообщении #1220405 писал(а):

т.е. вроде логично предположить, что описание КТП возникает от квантово-механического описания состояния частиц... а тут ООООООПС и нет! сразу идет речь о группах симметрий
.... каких-то /заплакал/

Как говорится, слезами делу не поможешь. А вот если почитать о группах Ли, то станет сильно легче. Одну книгу я уже называл, назову ещё одну: М. Петрашень, Е. Трифонов "Применение теории групп в квантовой механике". Книга небольшая, написана легко и понятно. Мне в своё время сильно помогла.

[Mikhail_K]

Подниму-ка я эту тему. Кажется мне, что я запутался в простом вопросе с размерностями.

Mikhail_K в сообщении #1066767 писал(а):

пространство $\mathbb{R}^3$, и, насколько я понял, это пространство цветов, или пространство кварков с данными цветами. То есть К - это $(1,0,0)$, З - это $(0,1,0)$, С - это $(0,0,1)$.

Munin в сообщении #1066811 писал(а):

Нет, $\mathbb{C}^3.$ Или, может быть, $\mathbb{C}^3/\mathrm{U}(1).$

Насколько я понял, чтобы построить пространство цветов, которые могут быть у кварка, мы делаем следующее:
1) Вначале берём $\mathbb{C}^3$ как пространство цветов, с базисом К, З, С (соответственно, красный, зелёный и синий цвета). Такое пространство шестимерно (над $\mathbb{R}$).
2) Рассматриваем в нём единичную сферу (потому что, например, кварк может иметь цвет К или там $\frac{\sqrt{2}}{2}$К$+i\frac{\sqrt{2}}{2}$З, но не цвет $2$К). Эта сфера представляет собой пятимерное многообразие.
3) Отождествляем те точки, которые получаются друг из друга умножением на комплексное число с модулем $1$. Например, К и $i$К - это один и тот же цвет. (Без этого шага, группа преобразований этого цветового пространства получалась бы ${\rm{U}}(3)$, а не ${\rm{SU}}(3)$.) Итого, пространство цветов оказывается четырёхмерным многообразием.

Как же тогда получается, что

Munin в сообщении #1033382 писал(а):

Заодно, как вы уже выяснили, не всякий глюон может быть излучён при заданном векторе цвета кварка. Может быть излучён только такой, который его поворачивает (5 видов), и не может быть - такой, который его не поворачивает (3 вида).

Почему поворачивают пять глюонов, а не четыре, раз многообразие четырёхмерное?

[Alex-Yu]

Mikhail_K в сообщении #1278238 писал(а):

1) Вначале берём $\mathbb{C}^3$ как пространство цветов, с базисом К, З, С (соответственно, красный, зелёный и синий цвета). Такое пространство шестимерно (над $\mathbb{R}$).
2) Рассматриваем в нём единичную сферу (потому что, например, кварк может иметь цвет К или там $\frac{\sqrt{2}}{2}$К$+i\frac{\sqrt{2}}{2}$З, но не цвет $2$К). Эта сфера представляет собой пятимерное многообразие.

Вы путаете две совершенно разные вещи: размерность пространства, и размерность группы преобразований этого пространства. В конце-концов преобразования задаются матрицами, а у матриц намного больше элементов, чем у векторов, на которые эти матрицы действуют (умножаются).

Размерность $SU(3)$ равна восьми.

[Mikhail_K]

Alex-Yu, стараюсь не путать.
Размерность пространства цветов - равна пяти или четырём?

Если, скажем, она равна четырём (как в моём сообщении выше), то в каждой точке этого пространства, надо думать, имеется четыре линейно независимых направления.

Вот мне и интересно, почему есть пять (а не четыре) "независимых" глюонов, которые может этот кварк излучать или поглощать, что означает его сдвиг по этому пространству цветов?

Или это надо так понимать, что из пяти направлений движения, задаваемых пятью глюонами, одно может быть выражено через четыре других - а независимость этих пяти глюонов проявляется в их действии на другие кварки (с другими векторами цвета), а не на этот?

----------

Но прежде всего мне интересно с размерностью пространства. Прав ли я, или ошибаюсь, что она равна четырём?

[Alex-Yu]

Mikhail_K в сообщении #1278316 писал(а):

Размерность пространства цветов - равна пяти или четырём?

Трем.

Вообще говорить о некой "действительной размерности", умножая на двойку (комплексное число -- это пара действительных), не вполне корректно. Дело в том, что само понятие независимости в комплексном случае не такое, как если расписать отдельно действительные и мнимые части.

Давайте возьмем простой пример двухмерных комплексных векторов. Естественно, можно устроить соответствие:

$$ \left( \begin{array}{c} z_1 \\ z_2 \end{array} \right) \quad \to \quad \left( \begin{array}{c} Re \, z_1 \\ Re \, z_2 \\ Im \, z_1 \\ Im \, z_2 \end{array} \right) $$

Однако два комплексных вектора

$$ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c} i \\ 0 \end{array} \right) $$

являются линейно зависимыми (задают одно и то же направление). А соответствующие им действительные векторы

$$ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $$

являются линейно независимыми (и даже ортогональными) и задают разные направления.

Не надо переходить от комплексного пространства к действительному в два раза большей размерности! Иногда это полезно при численных вычислениях, но очень сильно затуманивает смысл.

А глюонов всего не пять, а восемь. Ровно столько, сколько размерность $SU(3)$. Совсем другое дело, что в каких-то специальных случаях могут работать не все глюоны, а только некоторые из них.

[Cos(x-pi/2)]

Mikhail_K в сообщении #1278238 писал(а):

Почему поворачивают пять глюонов, а не четыре, раз многообразие четырёхмерное?

Видимо, в таком вопросе надо прежде чётко себе сформулировать, что означает слово "поворачивают". Например, в 4-мерном пространстве $\mathbb{R}^4$ есть шесть (а не четыре) независимых поворота: поворот в каждой из шести "координатных плоскостей".

В вопросе же о взаимодействии глюонов с кварками, как уже пояснял Munin в похожей теме, следует посмотреть на выражение $\bar{\psi}_a \lambda_{ab} \psi_b$ с той или иной матрицей Гелл-Манна $\lambda$.