Планиметрия, циркуль и линейка, вписанная-описан. трапеция

[ctdr]

Даны окружность и на ней 2 точки A, B. Построить на окружности правильную трапецию (CD $\parallel$ AB), в которую можно вписать окружность. (по мотивам соседней темы topic123616.html).


Я решил громоздко, "алгебраически". Обозначим верхнее основание $2a$, нижнее $2x$. Получим в итоге условие описанности в виде $\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-x^2}=2\sqrt{ax}$. Дальше строим параболу, и берём её точку пересечения с окружностью.

Господа Умные, укажите пожалуйста на простое и красивое решение. Думал, ничего не придумал. (задача - из любопытства; долго над ней думать не нужно; нет - так нет)

[DeBill]

ctdr в сообщении #1277640 писал(а):

Я решил громоздко,

Вообще то, решения пока нет, потому что

ctdr в сообщении #1277640 писал(а):

Дальше строим параболу

парабола циркулем и линейкой не строится.
Уравнение правильное, но, боюсь, решение его не удастся получить в "квадратичных" радикалах - а, значит, циркулем и линейкой оно в принципе не строится....

-- 22.12.2017, 19:54 --

Например, для $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$, Ваше уравнение приводит к уравнению
$z^4+12z^2-12z-9=0$ относительно переменной $z=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}$. Это уравнение можно явно решить - по Феррари, или там, Кардано. И, (не проверял), скорее всего, кубические радикалы в ответе будут...

[ctdr]

Спасибо!

DeBill в сообщении #1277667 писал(а):

парабола циркулем и линейкой не строится.

Это я не подумал, просто тут есть кнопочка такая - коника по 5-и точкам :) Тогда да, решения нет.

Можно придумать/увидеть некий вспомогательный объект (нетривиальный, который поначалу кажется, сбоку-припёку), который очень удачно расщепит задачу. И либо начинать построение с этого объекта (и оно в итоге получится), либо ввести какой-нибудь удачный параметр на основе этого объекта, относительно которого сильно упростятся уравнения. Я думал, может и здесь такое возможно.

[vpb]

А вот у меня такое соображение. Пусть $a$ --- "свободная переменная" (трансцендентный над $\mathbb Q$ элемент), и рассмотрим минимальное расширение полей $E\supset {\mathbb Q}$, которое содержит $a$ и замкнуто относительно взятия квадратных корней. Тогда $E$ --- это в точности множество всех отрезков, которые можно построить, если дан единичный отрезок и отрезок длины $a$. Теперь рассмотрим величины $u=\sqrt{1-x^2}$ и $v=\sqrt{x}$. Они, во-первых, связаны линейным условием, коэффициенты которого лежат в $E$ (это и есть само уравнение). Во-вторых, удовлетворяют соотношению $u^2+v^2=1$. Значит, каждая из них удовлетворяет квадратному уравнению над $E$, а потому и лежит в $E$, т.е. построима. Значит и $x$ тоже построимо.

А насчет изящного элементарного решения ... в общем, в школьной планиметрии я не силен.

Я, правда, не уверен, что ctdr быстро поймет вышенаписанное, но в общем ничего сложного там нет, теория геометрических построений --- это такая классическая вещь, по которой есть много популярной литературы.

[wrest]

Кстати, для любой пары точек можно построить существуют две искомых трапеции.

[DeBill]

vpb в сообщении #1277705 писал(а):

удовлетворяют соотношению $u^2+v^2=1$.

$u^2 +v^4=1$

[vpb]

Да, в самом деле, небольшой заскок! Я неправ! (Как это я так ?! ...) Бывают ошибки на пустом месте...

[Race]

Задача элементарно решается как частный случай задачи Аполлония.

1. Из точек А и В строите ортогональные прямые.
2. Строим 2 окружности с центрами в т. А и т. В, радиусом АВ.
4. Вписываем окружности которые касаются окружности из п (2) и прямой из п. (1), при этом центр окружности находится на заданной окружности.

С ходу построить можно используя инверсию. Доступ к моему чертежному приложению я буду иметь в следующий вторник, но используя инверсию вы самостоятельно построите как нефиг делать.

(Оффтоп)

Если что необязательно строить одновременно две окружности. Сначала строите 1... Потом вторую.

[wrest]

Race
Понять можно только пункт 2 :(

[Race]

Упс, приношу извинения... В построенном четырехугольнике не выполняется равенство противоположных сторон.
Рассмотрим равенство противоположных сторон:
1. $BC=DA=x$
2. $2x=BC+DA=AB+CD \implies CD=2x-AB$
3. $DC/2=x-АВ/2$

Значит, если я снова не ошибаюсь то построение нашей трапеции будет выглядеть таким образом
1. Строим отрогональнве прямые через точки $A$ и $B$, относительно прямой $AB$.
2. Из точек $A$ и $B$ строим две окружности радиусом $AB$.
4. Вписываем 2 окружности таким образом чтобы они касались окружностей из п. (2) и прямых из пункта (1) (соответственно для каждой точки и прямой таких окружностей будет 2, необходимо выбрать подходящую, а именно для прямой $A$, окружность будет косаться прямой ортогональной $B$ и наоборот).

Так должно быть правильно.
Еще раз извиняюсь за невнимательность.

[ctdr]

Как мне кажется, ответ DeBill означает, что если в каком-нибудь алгебраическом решении (при какой-либо параметризации задачи) мы встретили кубические корни - то с циркулем-линейкой построить невозможно. Я правильно понял?

Race
Если Вас не затруднит, не могли бы Вы кратко описать идеи (а не шаги построений)?

[Modest]

Race, замечание за неоформление формул в TeX и использование русского алфавита под видом английского. На первый раз исправил сам. Просьба также не пытаться полностью решать задачу за ТС.

[grizzly]

Race в сообщении #1277824 писал(а):

1. Строим отрогональнве прямые через точки А и В, относительно прямой АВ.

Назовём их прямыми $m_1$ и $m_2$, соответственно.

Race в сообщении #1277824 писал(а):

2. Из точек А и В строим две окружности радиусом АВ.

Назовём их окружностями $O_1$ и $O_2$, соответственно.

Race в сообщении #1277824 писал(а):

4. Вписываем 2 окружности таким образом чтобы они касались окружностей из п. (2) и прямых из пункта (1) (соответственно для каждой точки и прямой таких окружностей будет 2, необходимо выбрать подходящую, а именно для прямой А, окружность будет косаться прямой ортогональной В и наоборот).

А теперь скажите, пожалуйста, аккуратнее, что чего касается в введённых обозначениях. (Можете ссылаться для определённости на чертёж в начале темы.)

И проверьте, пожалуйста, не пропустили ли Вы п.п.3 и 5.

PS. Но ничего страшного, если это потерпит и до вторника (на случай, если словами объяснять сложно).

[wrest]

Race в сообщении #1277807 писал(а):

Доступ к моему чертежному приложению я буду иметь в следующий вторник

К вашим услугам geogebra.org к которой у вас есть доступ каждый раз когда есть браузер и доступ в Интернет.

[Race]

Modest,
приношу извинения, постараюсь впредь не нарушать.

ctdr,
ок, изложу идеи.
1. Условием возможности описать четырехугольник вокруг окружности будет равенство суммы его противоположных сторон. В данном случае нам известно одно из оснований трапеции: $AB$, так как трапеция равнобокая то боковые стороны равны между собой, пусть $BC=DA=x$, нам остается вычислить величину второго основания: $CD=2x-AB \Rightarrow \frac{CD}{2}=x-\frac{AB}{2}$.
2. В трапеции основания параллельны между собой, а так же перпендикулярны высотам.

Построим половину нашей трапеции, из точки $B$ построим прямую $b$ перпендикулярную $AB$,
Теперь если мы впишем окружность $ w_1$ таким образом что она пройдет через точку $A$ и коснется прямой $b$, а при этом центр окружности $ w_1$ будет принадлежать заданной окружности, мы получим половину искомой трапеции соединим точку касания $E$ окружности $ w_1$ с ее центром в точке $D$, найдя вторую точку пересечения прямой $DE$ заданной окружности мы определим последнюю точку четырехугольника $C$.

3. Проверим, имеем четырехугольник, в котором 2 стороны параллельны между собой, а вторые равны.
Условием вписания окружности в него будет:
$2x=AB+2(x-\frac{AB}{2})=2x$

wrest,
есть у меня и геогебра, но к сожалению нормально оформлять в ней чертежи не выходит... За много лет к автокаду привык.

Вписать окружность $ w_1$ можно как используя гомотетию (громоздко):

(Оффтоп)

неработает мой способ

либо используя инверсию.
Вторую окружность можно не вписывать, 4 точку четырехугольника мы получим автоматически.

(Оффтоп)

Следует заметить что для каждого выбранного отрезка $AB$ в заданную окружность возможно вписать 2 трапеции удовлетворяющих условию.