Разложить функцию в ряд Фурье на заданном интервале

[Diosio]

$ f(x)=\cos^2(x); (-\pi;\pi) $
функция четная, следовательно
$ a_{n} =\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\cos^2(x) \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \cos(x)( \frac{1}{2}(\cos(x-nx) + \cos(x+nx))) dx
потом еще раз использую формулу произведения косинусов и получаю:
$ f(x)= \frac{1}{2\pi n} \int\limits_{0}^{\pi} \cos(nx) dnx + \frac{1}{2\pi (2-n)} \int\limits_{0}^{\pi} \cos(2-n)x d(2-n)x - \frac{1}{2\pi n} \int\limits_{0}^{\pi} \cos(-nx) d(-nx) + \frac{1}{2\pi (2+n)} \int\limits_{0}^{\pi} \cos(2+n)x d(2+n)x $
ну и все это получается равно $ 0 $
Что не правильно сделал?)

[svv]

Сначала давайте схитрим и подсмотрим ответ. Для этого надо лишь вспомнить или найти тригонометрическую формулу
$\cos^2 x=\frac{1+...}{2}$.

[Diosio]

Я вас не понял

[Lia]

Ясно. Хитрить придется потом ))

Знаменатели смотрите, делить не на все можно.

[Diosio]

Я еще в большем ступоре)
в знаменателе у меня только $ n=1, 2, 3 ... $

[Lia]

Нет, это энки такие. А знаменатели - другие.

[Diosio]

$\frac{1}{2 \pi n}; \frac{1}{2 \pi (2-n)}; \frac{1}{-2 \pi n}; \frac{1}{2 \pi (2+n)}$
а что с ними не так?

[Lia]

Lia в сообщении #1277367 писал(а):

Знаменатели смотрите, делить не на все можно.

[Diosio]

$ n \ne 0;2;-2 $ ?

[svv]

Да, причём для каждого слагаемого «опасным» является своё $n$. И как же быть, если такое встретилось?

[Diosio]

svv в сообщении #1277384 писал(а):

Да, причём для каждого слагаемого «опасным» является своё $n$. И как же быть, если такое встретилось?

Честно признаюсь. Я понятия не имею что делать

[svv]

Хорошо. В формуле, которая некорректна, в знаменателе нуль. Но заметьте, что как раз в таких случаях и косинус в исходном интеграле вырождается в нечто более простое.

[Diosio]

Единственная идея которая есть, это разложить косинус в исходном интеграле в ряд Маклорена, но подозреваю это не нечто более простое

[svv]

Ну во что превращается $\cos(2-n)$, когда $n=2$?

[Diosio]

svv в сообщении #1277419 писал(а):

Ну во что превращается $\cos(2-n)$, когда $n=2$?

1