Коровы одинаковой массы

[g______d]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275496 писал(а):

Мне непонятно

Матрица $M$ по модулю 2 является суммой двух матриц, у одной из которых все элементы равны единице, а у другой в каждой строке и столбце есть ровно один ненулевой элемент. $\mathbb Z_2$ -- поле. У второй матрицы определитель ненулевой, поэтому ранг $n$. Первая матрица ранга 1. Следовательно, у суммы ранг (над $\mathbb Z_2$) не ниже $n-1$. Из равенства нулю определителя следует, что он ровно $n-1$. Следовательно, существует хотя бы один минор размера $n-1$, который не равен нулю в $\mathbb Z_2$. Следовательно, у исходной матрицы существует хотя бы один нечётный (и, следовательно, не равный нулю) минор.

[Markiyan Hirnyk]

g______d
Во первых, цитировать следует цельный кусок. Во-вторых, пожалуйста, обоснуйте

Цитата:

Матрица $M$ по модулю 2 является суммой двух матриц, у одной из которых все элементы равны единице, а у другой в каждой строке и столбце есть ровно один ненулевой элемент.

[g______d]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275592 писал(а):

Во-вторых, пожалуйста, обоснуйте

Там в каждой строке 1 нуль, 50 единиц и 50 минус единиц. По модулю 2 единицы не отличаются от минус единиц. При этом никакие два нуля из разных строк не стоят в одном столбце. Поэтому матрица будет разностью матрицы из всех единиц и матрицы, в которой в каждой строке и каждом столбце ровно одна единица.

[Markiyan Hirnyk]

g______d
Увы, не понимаю.

Цитата:

Следовательно, у суммы ранг (над $\mathbb Z_2$) не ниже $n-1$. Из равенства нулю определителя следует, что он ровно $n-1.$...Следовательно, у исходной матрицы существует хотя бы один нечётный (и, следовательно, не равный нулю) минор.

Какое утверждение из этого следует?
Повторяю, полное решение задачи длиной в несколько страниц приведено здесь, с. 11-16.
Тему рассматриваю как закрытую. Задачу (без ее решения) узнал из Интернета.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275653 писал(а):

Повторяю, полное решение задачи длиной в несколько страниц приведено здесь, с. 11-16.

(Пишу на всякий случай, если вдруг Вы этого не поняли -- иначе сложно интерпретировать Ваши слова о "полном решении".)
На тех страницах приведено несколько решений этой задачи. Эти решения действительно очень подробны: подробно объясняется, что такое $n$-мерное пространство, подробно описывается куб в этом пространстве, объясняется теорема о количестве векторов в базисе (само понятие базиса подробно объясняется, начиная с плоскости), вводится определение линейной независимости и многое, многое другое. Если Вы всё-таки посмотрите ту статью и среди решений увидите там что-то похожее на обсуждаемое здесь доказательство, вполне возможно, что Вам это поможет его понять (ну, или то тоже окажется совсем непонятным).

[g______d]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275653 писал(а):

Какое утверждение из этого следует?

Если у матрицы есть ненулевой минор размера $n-1$, а определитель равен нулю, то её ранг равен $n-1$.

[Markiyan Hirnyk]

g______d

Цитата:

Если у матрицы есть ненулевой минор размера $n-1$ , а определитель равен нулю, то её ранг равен $n-1$ .

Хорошо, а как продолжить доказательство?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в связи с утратой элемента олимпиадности.

[g______d]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275779 писал(а):

Хорошо, а как продолжить доказательство?

Посмотреть на то, как устроено ядро линейного преобразования $M$. Какую размерность оно имеет? Можем ли мы явно указать базис?

[Edward_Tur]

Посылал когда-то эту задачу в журнал "Квант" - http://kvant.ras.ru/1984/02/p51.htm. Только коров не было.

[Markiyan Hirnyk]

g______d в сообщении #1275784 писал(а):

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275779 писал(а):

Хорошо, а как продолжить доказательство?

Посмотреть на то, как устроено ядро линейного преобразования $M$. Какую размерность оно имеет? Можем ли мы явно указать базис?

Пожалуйста, содержательно объясните без руководящих указаний. Я сто лет тому защитил диссертацию, автор двух десятков математических статей, опубликованных в солидных журналах, оппонировал на защитах десятка диссертаций.
PS. Выполняю указания модератора Lia (см. ниже). Если ранг линейного преобразования из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^n$ равен $n-1$, то размерность его ядра раняется единице. Базис ядра указать не могу.

[Lia]

Пожалуйста, ответьте на вопросы ЗУ. Реплика про давность защиты и количество статей в данном случае к делу отношения не имеет и работает, скорее, против Вас. Оставьте ее для CV.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки понимания решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.