Вычисление комплексного числа

[Diosio]

Вычислить:
$(2i)^i$
Записываю число в тригонометрической форме:
$ c=2i \varphi=\arctg(\frac{2}{0})=\frac{\pi}{2} c^i=2^i(\cos(\frac{\pi i}{2}) + i\sin(\frac{\pi i}{2}))$
ну и дальше я не понимаю как вычислять:(

[mihaild]

Определение комплексной степени знаете?

[Diosio]

Видимо не знаю

[mihaild]

Тогда вы не знаете, что означает $(2i)^i$, и соответственно вам нужно его узнать прежде чем решать эту задачу.
Определение есть, например, в "Методах теории функций комплекнсого переменного" Лаврентьева и Шабата.

[Diosio]

$ (2i)^i=e^{i \cdot Ln(2i)}=e^{0-i(\frac{\pi}{2}+2 \pi k)}e^{i(i\ln2)}=e^{-i(\frac{\pi}{2}+2 \pi k)}\cdot e^{-\ln2}=\frac{1}{2} e^{-i(\frac{\pi}{2}+2 \pi k)}$
начал правильно?

[mihaild]

Второй переход непонятно откуда взялся.
(а еще умножение обозначается как $\cdot$ а не $*$, о чем при наборе сообщения даже показывается предупреждение)

[Walker_XXI]

Diosio в сообщении #1274903 писал(а):

Записываю число в тригонометрической форме

Запишите лучше в экспоненциальной.
О, уже пошли в правильном направлении. Не забудьте, что аргумент комплексного числа, вообще говоря, многозначная функция (можно прибавить $2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$, и всё равно получим то же самое комплексное число). Поэтому логарифм $\mathrm{Ln}$ - тоже многозначная функция. Про это как-то забылось. И проще записывайте: логарифм $i$, например, можно сразу посчитать.

Да, и не используйте "$*$" вместо знака умножения (его принято вообще опускать).

[Diosio]

mihaild в сообщении #1274915 писал(а):

Второй переход непонятно откуда взялся.
(а еще умножение обозначается как $\cdot$ а не $*$, о чем при наборе сообщения даже показывается предупреждение)

$ z^a= \exp(\alpha\lnr-\beta(\varphi+2 \pi k)) \cdot \exp(i(\alpha(\varphi+ 2 \pi k)+\beta \ln r)) a=\alpha+ \beta i$

[mihaild]

Diosio в сообщении #1274922 писал(а):

$ z^a= \exp(\alpha\lnr-\beta(\varphi+2 \pi k) \cdot \exp(i(\alpha(\varphi+ 2 \pi k)+\beta\lnr) $

Тут явно как минимум не хватает закрывающих скобок, а также определения $\varphi$.

[Diosio]

Скобки исправил
$\varphi = \arctg \frac{x}{y}$
в моем случае
$\varphi = \arctg \frac{2}{0} = \frac{\pi}{2}$

[mihaild]

И еще $r$ не определено (должно быть $|z|$).

Для читаемости лучше писать $e^z$ вместо $\exp(z)$.

Итого, определение степенной функции: если $z = r e^{i\varphi}, a = \alpha + i\beta$, то $z^a = e^{\alpha \ln r- \beta(\varphi + 2k\pi)} e^{i\left[\alpha(\varphi + 2k\pi) +\beta \ln r\right]}$.

Что делать дальше, понятно?

[Diosio]

Ну вот я выше писал решение и получилось:
$ \frac{1}{2} e^{-i(\frac{\pi}{2} + 2 \pi k)} $
а что делать дальше пока что не разобрался

[Someone]

Определение показательной функции с комплексным показателем вспомните.

[Diosio]

Ответ $-0.5i$?

[Someone]

Diosio в сообщении #1274911 писал(а):

$ (2i)^i=e^{i \cdot Ln(2i)}=e^{0-i(\frac{\pi}{2}+2 \pi k)}e^{i(i\ln2)}=e^{-i(\frac{\pi}{2}+2 \pi k)}\cdot e^{-\ln2}=\frac{1}{2} e^{-i(\frac{\pi}{2}+2 \pi k)}$
начал правильно?

Нет. Аккуратнее формулами пользуйтесь.