Построить функцию Лагранжа механической системы

[mugs_of_hugs]

Доброго времени суток!
Спасите мою душу, помогите разобаться с заданием.

Необходимо найти функцию Лагранжа механической системы и исследовать эту стстему на интегрируемость:


Мои попытки решить задание.
Движение волчка можно представить как комбинацию движения его вершины в плоскости $xOy$ и вращательного движения. Распишем угловые скорости через углы Эйлера и получим:

$$T=M \frac {\dot {x^2}+\dot {y^2}}{2}+I \frac {{\dot{\theta}}^2+\dot {\varphi }{\sin {\theta}}^2}{2}+I_{3} \frac {(\dot{\psi}+\dot {\varphi }{\cos {\theta}})^2}{2}$$

$$U=Mgl {\cos {\theta}}$$

Для подвешенного тела:

$$t=2Ml^2 (\dot {\theta }+ \dot {{\varphi }^2} {\sin {\theta}}^2)$$

$$U=-Mgz$$

Тогда Лагранжиан равен:

$$L=M \frac {\dot {x^2}+\dot {y^2}}{2}+I \frac {{\dot{\theta}}^2+\dot {\varphi }{\sin {\theta}}^2}{2}+I_{3} \frac {(\dot{\psi}+\dot {\varphi }{\cos {\theta}})^2}{2}+2Ml^2 (\dot {\theta }+ \dot {{\varphi }^2} {\sin {\theta}}^2)+Mgz-Mgl {\cos {\theta}}- \frac {q {\dot {\varphi }}^2 B_{0}l^2 {\sin {\theta }}^2}{2}$$

Сомневаюсь насчёт того, правильно ли составлено уравнение, не нужно ли выражать как-нибудь $x$ и $y$ через углы?

Дальше интегрируемость в квадратурах. Нашёл в лекции формулу: $N=2f-2c-1$. Если $N=1$, то система интегрируема. $f$ - степени свободы, $c$ - количество циклических координат. Проблема в том, что мне непонятно, каков смысл этого $N$. Что это за величина? Может ли она принимать отрицательные значения? Пересмотрел всю литературу по механике, что имею, нигде такой формулки не нашёл. Буду благодарен, если поможете разобраться.

[StaticZero]

(Оффтоп)

mugs_of_hugs в сообщении #1272719 писал(а):

плоскости Хоу

Хоу - один из трёх основоположников аналитической геометрии, пионеров в исследовании декартовой системы координат. Остальные два были Зох и Зоу.

[Eule_A]

mugs_of_hugs
Я на первый раз подправил формулы в Вашем сообщении - посмотрите, что изменилось, чтобы потом не повторять ошибок. В частности, все формулы - даже переменные $x$ и $y$ - нужно набирать с помощью тега math. А картиночку можно было бы для вставки и поменьше взять.

Кроме того, проверьте расстановку квадратов в кинетической энергии. Там что-то не в порядке.

И ещё. Лагранж - это был человек. Даже не так - Человек, его имя с большой буквы пишется. А лагранжиан - это название некоторой величины. Хотя и важной, но его с большой буквы не пишут Это исправлять не стал. Пусть останется для истории.

[mugs_of_hugs]

Eule_A в сообщении #1272729 писал(а):

mugs_of_hugs
Я на первый раз подправил формулы в Вашем сообщении - посмотрите, что изменилось, чтобы потом не повторять ошибок. В частности, все формулы - даже переменные $x$ и $y$ - нужно набирать с помощью тега math. А картиночку можно было бы для вставки и поменьше взять.

Кроме того, проверьте расстановку квадратов в кинетической энергии. Там что-то не в порядке.

И ещё. Лагранж - это был человек. Даже не так - Человек, его имя с большой буквы пишется. А лагранжиан - это название некоторой величины. Хотя и важной, но его с большой буквы не пишут Это исправлять не стал. Пусть останется для истории.

Спасибо, буду учиться на ошибках