Ни фига себе задачка из учебника....
0. Главная теорема в матане - это, наверное, теорема Лагранжа о конечном приращении....
Дробь
дает оценку минимума производной - сверху. И оценку максимума - снизу.
1. Оценка производных сверху. Пусть на отрезке длины
функция по модулю не превышает
.
1.1. Первая производная. Применяя 0), найдем на отрезке точку с производной, по модулю не большей
.
1.2 Вторая. Поделим отрезок на 3 равные части. Применим к левой и правой третям п.1.1. По полученным точкам, найдем по 0) точку, в которой вторая производная не больше (по модулю)
для некой константы
1.3. Третья. Поделим отрезок на 3 равные части. Применим к левой и правой третям п.1.2. По полученным точкам, найдем по 0) точку, в которой третья производная не больше (по модулю)
.
.....
1.18. Восемнадцатая. Аналогично, найдем точку на отрезке, где восемнадцатая производная не более (по модулю)
, где
- здоровенная константа.
2. Равномерная оценка первой производной. Предположим, что:
отрезок
содержится в интервале
вместе с прилегающими к нему слева-справа отрезочками ("ушами") длины
;
на интервале функция (а также и все ее производные) имеют не более 16 нулей;
на расширенном ушами отрезке модуль функции не превышает
.
Оценим максимум
производной на отрезке
. Именно, покажем, что
.
Для этого выберем
такой большой, что все здоровенные константы из 1) - фигня мелкая (нуль, практичски), по сравнению с ней (и даже умноженной на
...).
(Заготовка - штоб потом не отвлекаться: порежем каждое ухо на 18 равных частей. На левом ухе: на примыкающей к
голове телу
дольке выберем точку
с малой (по 1.1) производной, на следующем - точку
с малой (по 1.2) второй производной, и т.д., на последнем - точку
с малой восемнадцатой производной. Аналогично выберем точки
на правом ухе.)
Тогда: от противного: пусть есть точка
(центральная, для первой производной) на
, где первая производная по модулю больше. Пусть, для определенности, она положительна. Но в точках
производная мала. По 0), найдется точка
, в которой вторая производная велика (и положительна), и точка
, в которой вторая производная велика, и отрицательна.
В точках
вторая производная мала, а в построенных двух точках - велика, и разных знаков. Поэтому найдутся три точки, в которых третья производная велика, и имеет знаки
.
Продолжая, найдем 18 точек, в которых восемнадцатая производная имеет чередующиеся знаки. Меж ними - 17 нулей --- противоречие.
-- 04.12.2017, 01:35 --(Оффтоп)
Я был уверен, что вот стоит только такую оценку заиметь - и дело в шляпе. Ан нет: пришлось исчо напрягаться...
3. Оценка второй производной.
Поделим прилегающие уши пополам. По крайним половинкам ушей, оценим первую производную (на отрезке с прилегающими половинками ушей), а затем - аналогично - и вторую производную - на основном отрезке. Получим: ее максимум не превышает
И т.д. В частности, для максимума
-й производной
получим:
По формуле Стирлинга, это дает для некоторого .
А это и есть достаточное условие аналитичности. Уфф. (Оффтоп)
МАТЬ!!!
Потерялась
в показателе... И все пропало...
Значит, все еще хужее, чем ожидалось.
В принципе, я умею локализовать положение точек с большой второй производной - тех, что были описаны в п. 1.2:
по формуле Тейлора, для
,
, так что для большой производной
и небольших
достаточно близко к
есть точка с большой второй производной, и нужного знака.
В случае, когда
где-то в середине отрезка
, не близка к ушам, в условии "малости" второй производной не появится
в знаменателе, и тогда можно обойтись первой, а не 18-й, степенью. И тогда заработает предложенный п.3....
Однако, максимум производной может таки возникнуть у края отрезка....
Может, какой-то гибрид из предложенной
Xaositect методы для монотонной функции и этой попытки можно сочинить?