Сходимость функционального ряда 2 переменных

[Noct]

Есть вот какой функциональный ряд

$$u(t,x) = (1+x)T(t) + \left(\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\right)T'(t)+\left(\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}\right)T''(t) + \cdots$$

.
Где $T(t) = e^{-\frac{1}{t^2}}$ и $T(0) = 0$.
Нужно чтобы он сходился и получившуюся функцию можно было дифференцировать по обоим переменным. Значит нужна некоторая равномерная сходимость по обоим переменным. Как поступать в этом случаи. В теории $\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ можно оценить через $e^x$
Но что делать с $T^{(n)}(t)$? Пока удалось показать, что

$$T^{(n)}(t) = e^{-\frac{1}{t^2}} \frac{P_{2n-2}(t)}{t^{3n}}$$

, где $P_{2n-2}(t)$ многочлен степени не большей чем $2n-2$.

[Dan B-Yallay]

Noct в сообщении #1270163 писал(а):

Нужно чтобы он сходился

В какой области? По моему ограничения на $x$ очевидны, но в условиях ничего не сказано.

[Noct]

Dan B-Yallay в сообщении #1270180 писал(а):

Noct в сообщении #1270163 писал(а):

Нужно чтобы он сходился

В какой области? По моему ограничения на $x$ очевидны, но в условиях ничего не сказано.

$-\infty < x < \infty$ и $0 < t < T$

[svv]

Noct в сообщении #1270163 писал(а):

$T(t) = e^{-\frac{1}{t^2}}$

Noct в сообщении #1270185 писал(а):

$0 < t < T$

[Dan B-Yallay]

Noct в сообщении #1270185 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #1270180 писал(а):

Noct в сообщении #1270163 писал(а):

Нужно чтобы он сходился

В какой области? По моему ограничения на $x$ очевидны, но в условиях ничего не сказано.

$-\infty < x < \infty$ и $0 < t < T$

Приношу извинения, кажется с областью я сказал не то. Но и Ваш ответ тоже не то: функция $T$ чётная да еще и в нуле определена нулём. Почему тогда $t>0$ ?

[Noct]

Цитата:

Приношу извинения, кажется с областью я сказал не то. Но и Ваш ответ тоже не то: функция $T$ чётная да еще и в нуле определена нулём. Почему тогда $t>0$ ?

Тут $t$ - означает время, поэтому по смыслу задачи $t>0$
Вообще я хочу построить не нулевое решение уравнения теплопроводности при нулевых начальных условиях.